Questão 5 (Questão 25-Matemática 5-ASON-2014). Uma função real y=f(x) satisfaz a equação diferencial ordinária x y^prime+ y=ln (x), com x>0. Sabendo que f(1)=-3, pode-se afirmar que f^prime(3) é igual a:
a) 29
b) -29
c) 49
d) 59
e) 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
x,y'+y=ln(x), x>0,
com condição inicial f(1)=-3.
O conteúdo é solução de equação linear pelo método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos na forma padrão
y'+1xy=ln(x)x
O fator integrante é
mu(x)=e^integral1xdx=e^ln(x)=x
Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
ddxl(x,yr)=ln(x)
Integrando ambos os lados,
x,y=integralln(x),dx =xln(x)-x+C

Passo 3

Isolando y,
y=ln(x)-1+Cx
Usando f(1)=-3:
-3=ln(1)-1+C1 implies -3=0-1+C implies C=-2
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f(x)=ln(x)-1-2x

Passo 4

Calculamos a derivada
f'(x)=ddxl(ln(x)-1-2xr) =1x+2x^2 =x+2x^2
Portanto,
f'(3)=3+23^2=59

Resposta

d) 59

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