Questão 4 (Questão 24-Matemática 4-ASON-2014). Analise as sentenças a seguir e coloque V para verdadeira e F para falsa.
  1. O conjunto (1,3,5),(3,1,7),(5,3,13) é uma base de R^3. ()
  2. O espaço vetorial Pn, formado por todos os polinômios com grau menor ou iguala n, possui uma base composta por n+ 1 vetores de grau n . ()
  3. Se o conjunto v1, v2, v3 é um conjunto linearmente independente, então o conjunto v1, v2-v1, v3-v1 é também linearmente independente. ()
Assinale a opção que contém a sequência correta, respectivamente.
a) V-F-V
b) F-V-F
c) V-F-F
d) V-V-V
e) F-V-V

Passo 1

O enunciado pede para marcarmos com V (verdadeiro) ou F (falso) três afirmações sobre bases e independência linear em R^3 e em Pn. Vamos usar determinação de independência linear (via determinante) e argumentos de dimensão e mudança de base.

Passo 2

Analisando a sentença 1: “ (1,3,5),(3,1,7),(5,3,13) é uma base de R^3.”
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
M = 1 & 3 & 5 3 & 1 & 3 5 & 7 &13
Calculemos det(M):
det(M) =1cdotdet!1&37&13 -3cdotdet!3&35&13 +5cdotdet!3&15&7 =-8-72+80=0
Como o determinante é zero, os vetores não são independentes e, portanto, não formam base.
Sentença 1 é F.

Passo 3

Analisando a sentença 2: “O espaço vetorial Pn possui uma base composta por n+1 vetores de grau n.”
Sabemos que dim(Pn)=n+1. Há, por exemplo, a família
(x+i)^n : i=0,1,dots,n,
cada polinômio tem grau exatamente n e pode-se verificar (via determinante de Vandermonde) que é independentes. Logo existe base de n+1 polinômios todos de grau n.
Sentença 2 é V.

Passo 4

Analisando a sentença 3: “Se v1,v2,v3 é linearmente independente, então v1,;v2-v1,;v3-v1 também é independente.”
Escrevendo
(w1,w2,w3) =(v1,;v2-v1,;v3-v1) =(v1,v2,v3)cdot 1&-1&-1 0&1&0 0&0&1 ,
o segundo fator tem determinante 1neq0, logo é invertível. A aplicação de uma transformação linear invertível sobre um conjunto independe de vetores preserva a independência linear.
Sentença 3 é V.

Resposta

e) F;-;V;-;V

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