Questão 4 (Questão 24-Matemática 4-ASON-2014). Analise as sentenças a seguir e coloque para verdadeira e para falsa.
O conjunto é uma base de . ()
O espaço vetorial , formado por todos os polinômios com grau menor ou iguala , possui uma base composta por 1 vetores de grau n . ()
Se o conjunto é um conjunto linearmente independente, então o conjunto é também linearmente independente. ()
Assinale a opção que contém a sequência correta, respectivamente.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para marcarmos com (verdadeiro) ou (falso) três afirmações sobre bases e independência linear em e em . Vamos usar determinação de independência linear (via determinante) e argumentos de dimensão e mudança de base.
Passo 2
Analisando a sentença 1: “ é uma base de .”
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
Como o determinante é zero, os vetores não são independentes e, portanto, não formam base.
Sentença 1 é F.
Passo 3
Analisando a sentença 2: “O espaço vetorial Pn possui uma base composta por n+1 vetores de grau n.”
Sabemos que dim(Pn)=n+1. Há, por exemplo, a família (x+i)^n : i=0,1,dots,n,
cada polinômio tem grau exatamente n e pode-se verificar (via determinante de Vandermonde) que é independentes. Logo existe base de n+1 polinômios todos de grau n.
Sentença 2 é V.
Passo 4
Analisando a sentença 3: “Se v1,v2,v3 é linearmente independente, então v1,;v2-v1,;v3-v1 também é independente.”
Escrevendo
o segundo fator tem determinante 1neq0, logo é invertível. A aplicação de uma transformação linear invertível sobre um conjunto independe de vetores preserva a independência linear.
Sentença 3 é V.