Dada a função f(x, y)=raiz(x^2+y^2-1)^2, responda cada um dos itens justificando sua resposta:
(a) f é contínua nos pontos (x, y) sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem?
(b) f admite derivadas parciais nos pontos (x, y) sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem?
(c) f é diferenciável nos pontos nos pontos (x, y) sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para analisar uma função específica, f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 - 1)^2 , e responder três perguntas sobre ela: se ela é contínua, se tem derivadas parciais e se é diferenciável nos pontos que estão sobre a circunferência de raio 1 centralizada na origem. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. A função f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 - 1)^2 pode ser simplificada usando a propriedade da raiz quadrada de um quadrado:
f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 - 1)^2 = |x^2 + y^2 - 1|
Então, nossa função é f(x, y) = |x^2 + y^2 - 1| . Essa forma é mais fácil de trabalhar para verificar continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade.

Passo 3

Vamos verificar se a função é contínua nos pontos sobre a circunferência de raio 1. Lembrando que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.
Como f(x, y) = |x^2 + y^2 - 1| é uma combinação de funções contínuas (polinômios e valor absoluto), a função f é contínua em todo o seu domínio, incluindo todos os pontos na circunferência de raio 1.

Passo 4

Agora, vamos ver se a função admite derivadas parciais nos pontos sobre a circunferência. As derivadas parciais existem se conseguimos calcular as taxas de variação da função em relação a cada variável, mantendo a outra constante.
Para f(x, y) = |x^2 + y^2 - 1| , precisamos considerar onde a expressão dentro do valor absoluto, x^2 + y^2 - 1 , é igual a zero, ou seja, na circunferência de raio 1.
Nesses pontos, a função f(x, y) tem um “ponto de canto” devido ao valor absoluto, o que faz com que as derivadas parciais não sejam definidas nesse local. Portanto, a função não possui derivadas parciais nos pontos sobre a circunferência de raio 1.

Passo 5

Por fim, vamos determinar se a função é diferenciável nos pontos sobre a circunferência. Diferenciabilidade implica que a função pode ser bem aproximada por um plano tangente naquele ponto, ou seja, que possui derivadas parciais contínuas.
Já que vimos no passo anterior que as derivadas parciais não existem nos pontos da circunferência de raio 1, a função f não pode ser diferenciável nesses pontos. Sem derivadas parciais bem definidas, não temos as condições necessárias para a diferenciabilidade.

Resposta

(a) Sim, f é contínua nos pontos sobre a circunferência de raio 1.
(b) Não, f não admite derivadas parciais nos pontos sobre a circunferência de raio 1.
(c) Não, f não é diferenciável nos pontos sobre a circunferência de raio 1.

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