Considere a função f(x, y)=raiz[4]x^2-y^2-4. Determine o conjunto domínio de f e esboce-o.

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=raiz[4]x^2-y^2-4
ou seja, precisamos determinar para quais pares (x,y) o radicando é não-negativo e depois esboçar essa região no plano. O conteúdo envolvido é domínio de função de duas variáveis e reconhecimento de hipérbole dada por uma inequação quadrática.

Passo 2

Para que f(x,y) seja real, o radicando deve satisfazer
x^2-y^2-4>= 0

Passo 3

Reescrevendo, obtemos
x^2-y^2;>=;4,
e a fronteira dessa região é a curva
x^2-y^2=4,
que é uma hipérbole com centro em (0,0), eixos: eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.

Passo 4

Na hipérbole x^2-y^2=4 os vértices são (pm2,0) e as assíntotas são y=pm x. A inequação x^2-y^2>=4 corresponde às duas “folhas” exteriores à hipérbole, ou seja, ao conjunto
(x,y)inR^2: x>= raizy^2+4 cup (x,y)inR^2: x<= -raizy^2+4

Passo 5

Para esboçar, trace primeiro a hipérbole x^2-y^2=4 com vértices em (2,0) e (-2,0) e assíntotas y=pm x. Em seguida, sombreie as regiões externas a essas duas curvas, isto é, tudo à direita do ramo de hipérbole que abre para +infty e tudo à esquerda do ramo que abre para -infty.

Resposta

Dom(f) =l(x,y)inR^2: x^2-y^2>=4r,
que são os pontos do plano fora das folhas da hipérbole x^2-y^2=4.

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