Questão 1.
(b) Ache a função curvatura k(t) da curva beta(t)=(t, t, 1+t^2).

Passo 1

Resumo do enunciado: a curva é
beta(t) = l(t,;t,;1+t^2r),
e a gente precisa encontrar a curvatura k(t).
Conteúdo da matéria: geometria diferencial de curvas no R^3.
O que vamos precisar:
  • derivar a curva ( beta' e beta'');
  • fazer produto vetorial;
  • calcular normas;
  • usar a fórmula
k(t) = l|beta'(t)timesbeta''(t)r||beta'(t)|^3

Passo 2

Calcular a primeira derivada:
beta'(t) = l(1,;1,;2tr)

Passo 3

Calcular a segunda derivada:
beta''(t) = l(0,;0,;2r)

Passo 4

Recordando a fórmula da curvatura:
k(t) ;=; |beta'(t)timesbeta''(t)||beta'(t)|^3

Passo 5

  1. Produto vetorial:
beta'(t)timesbeta''(t) = (1,1,2t)times(0,0,2) = l(1cdot2 - 2tcdot0,;2tcdot0 - 1cdot2,;1cdot0 - 1cdot0r) = (2,,-2,,0)
  1. Norma do produto vetorial:
|(2,-2,0)| = raiz2^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz8 = 2raiz2
  1. Norma de beta'(t):
|beta'(t)| = raiz1^2 + 1^2 + (2t)^2 = raiz2 + 4t^2
Então
k(t) = 2raiz2l(raiz2+4t^2r)^3 = 2raiz2(2+4t^2)^3/2

Passo 6

Agora é só simplificar:
2raiz2 = 2^3/2, 2+4t^2 = 2,(1+2t^2) ;Longrightarrow; (2+4t^2)^3/2 = 2^3/2,(1+2t^2)^3/2
Logo
k(t) = 2^3/22^3/2,(1+2t^2)^3/2 = 1(1+2t^2)^3/2

Resposta

boxedk(t) = 1l(1+2t^2r)^3/2

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