O problema abaixo pode descrever a interação entre duas espécies (Predador-Presa) com densidades populacionais x e y em determinado ambiente fechado:
l x^prime(t)=x(1-0,5 x-0,5 y) y^prime(t)=y(-0,25+0,5 x)
(a) (1,5 pontos) Determine todos os pontos críticos, interprete o que cada ponto crítico representa no problema, analise seu tipo e sua estabilidade.
(b) (1 ponto) Explique o que deve acontecer com a trajetória da solução quando t longrightarrow infty no caso em que as condições iniciais estão suficientemente próximas do ponto ( 0,5,1,5 ).

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de Lotka–Volterra modificado
x' = xl(1 - 0,5,x - 0,5,yr), y' = yl(-0,25 + 0,5,xr),
onde x(t) e y(t) são as densidades de presa e predador. Para resolver a parte (a) vamos encontrar os pontos críticos (equilíbrios), interpretá-los, calcular a matriz Jacobiana em cada um, obter os autovalores e assim classificar tipo e estabilidade de cada ponto. Na parte (b) analisaremos o comportamento das soluções próximas a (0,5,,1,5) quando ttoinfty.

Passo 2

Determinamos os pontos críticos resolvendo x'=0 e y'=0. Das equações
x' = x(1 - 0,5x - 0,5y) = 0, y' = y(-0,25 + 0,5x) = 0,
obtém-se
1 x=0 e y=0, dando (0,0).
2 y=0 e 1 - 0,5x=0, dando x=2, i.e.\ (2,0).
3 -0,25 + 0,5x=0 x=0,5 e então 1 - 0,5 cdot 0,5 - 0,5y=0 leva a y=1,5, i.e.\ (0,5,,1,5).

Passo 3

Interpretação dos pontos críticos:
,(0,0) significa extinção de ambas as espécies;
,(2,0) significa que as presas alcançam sua capacidade de suporte ( x=2) e o predador some ( y=0);
,(0,5,,1,5) é o equilíbrio de coexistência, com ambas as populações positivas.

Passo 4

Calculamos a Jacobiana
J(x,y) = partial x'partial x & partial x'partial y [6pt] partial y'partial x & partial y'partial y = 1 - x - 0,5,y & -0,5,x [3pt] 0,5,y & -0,25 + 0,5,x
Em cada ponto crítico:
(0,0):
J(0,0) = 1 & 0 0 & -0,25,
autovalores lambda1 = 1 > 0, lambda2 = -0,25 < 0. É ponto de sela instável.
(2,0):
J(2,0) = -1 & -1 0 & 0,75,
autovalores lambda1 = -1 < 0, lambda2 = 0,75 > 0. Também é sela instável.
(0,5,,1,5):
J(0,5,1,5) = -0,25 & -0,25 0,75 & 0
Traço tau = -0,25 < 0, determinante De<a = 0,1875 > 0, discriminante tau^2 - 4De<a < 0. Logo autovalores complexos com parte real negativa: ponto foco assintoticamente estável (espiral estável).]

Passo 5

Como (0,5,1,5) é um foco estável, trajetórias iniciadas suficientemente próximas a esse ponto irão espiralar em torno do equilíbrio e, à medida que ttoinfty, convergir para (0,5,1,5).

Resposta

(a) Os pontos críticos são (0,0), (2,0) e (0,5,1,5). O ponto (0,0) é uma sela instável (uma espécie surge enquanto a outra decai), (2,0) também é sela instável (prezas no limite de suporte, predadores extintos) e (0,5,1,5) é um foco assintoticamente estável (coexistência estável com oscilações amortecidas).
(b) Se as condições iniciais estiverem próximas de (0,5,1,5), a solução espirala em torno desse equilíbrio e converge para ele quando ttoinfty, ou seja, as populações se acomodam no estado de coexistência.

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