O problema abaixo pode descrever a interação entre duas espécies (Predador-Presa) com densidades populacionais e em determinado ambiente fechado:
(a) (1,5 pontos) Determine todos os pontos críticos, interprete o que cada ponto crítico representa no problema, analise seu tipo e sua estabilidade.
(b) (1 ponto) Explique o que deve acontecer com a trajetória da solução quando no caso em que as condições iniciais estão suficientemente próximas do ponto ( ).
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema de Lotka–Volterra modificado
onde e são as densidades de presa e predador. Para resolver a parte (a) vamos encontrar os pontos críticos (equilíbrios), interpretá-los, calcular a matriz Jacobiana em cada um, obter os autovalores e assim classificar tipo e estabilidade de cada ponto. Na parte (b) analisaremos o comportamento das soluções próximas a quando .
Passo 2
Determinamos os pontos críticos resolvendo e . Das equações
obtém-se e , dando . e , dando , i.e.\ . dá e então leva a , i.e.\ .
Passo 3
Interpretação dos pontos críticos: significa extinção de ambas as espécies; significa que as presas alcançam sua capacidade de suporte () e o predador some (); é o equilíbrio de coexistência, com ambas as populações positivas.
Passo 4
Calculamos a Jacobiana
Em cada ponto crítico:
(0,0):
J(0,0) = 1 & 0 0 & -0,25,
autovalores lambda1 = 1 > 0, lambda2 = -0,25 < 0. É ponto de sela instável.
(2,0):
J(2,0) = -1 & -1 0 & 0,75,
autovalores lambda1 = -1 < 0, lambda2 = 0,75 > 0. Também é sela instável.
(0,5,,1,5):
J(0,5,1,5) = -0,25 & -0,25 0,75 & 0
Traço tau = -0,25 < 0, determinante De<a = 0,1875 > 0, discriminante tau^2 - 4De<a < 0. Logo autovalores complexos com parte real negativa: ponto foco assintoticamente estável (espiral estável).]
Passo 5
Como (0,5,1,5) é um foco estável, trajetórias iniciadas suficientemente próximas a esse ponto irão espiralar em torno do equilíbrio e, à medida que ttoinfty, convergir para (0,5,1,5).
Resposta
(a) Os pontos críticos são (0,0), (2,0) e (0,5,1,5). O ponto (0,0) é uma sela instável (uma espécie surge enquanto a outra decai), (2,0) também é sela instável (prezas no limite de suporte, predadores extintos) e (0,5,1,5) é um foco assintoticamente estável (coexistência estável com oscilações amortecidas).
(b) Se as condições iniciais estiverem próximas de (0,5,1,5), a solução espirala em torno desse equilíbrio e converge para ele quando ttoinfty, ou seja, as populações se acomodam no estado de coexistência.