(2,5 pontos) Calcule a transformada inversa de F(s)=s / 2+5 / 3s^2+4 s+6.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=tfracs2+tfrac53s^2+4s+6
O conteúdo é transformada de Laplace e usaremos completamento de quadrado no denominador e decomposição do numerador para reconhecer as formas de cosseno e seno amortecidos.

Passo 2

Observamos o denominador e completamos o quadrado:
s^2+4s+6 = (s+2)^2+2

Passo 3

Escrevemos o numerador em função de s+2:
s2+53 = 12(s+2) + l(53-1r) = 12(s+2) + 23

Passo 4

Assim
F(s) = tfrac12(s+2)(s+2)^2+2 + tfrac23(s+2)^2+2

Passo 5

Reconhecemos as transformadas conhecidas:
  1. Le^-2tcos(raiz2,t)=s+2(s+2)^2+(raiz2)^2.
  2. Le^-2tsin(raiz2,t)=raiz2(s+2)^2+(raiz2)^2.

Passo 6

Para a segunda fração escrevemos
tfrac23(s+2)^2+2 = 23raiz2;raiz2(s+2)^2+(raiz2)^2
Logo, aplicando as inversas, obtemos
f(t) = 12,e^-2tcos(raiz2,t) + 23raiz2,e^-2tsin(raiz2,t)

Resposta

f(t) = 12,e^-2tcos(raiz2,t) + 23raiz2,e^-2tsin(raiz2,t)

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