Considere a função f(x, y)=ln (-3 y+x y).
Determine a derivada fx y.

Passo 1

Vamos entender qual é a missão aqui. A gente tem a função f(x, y) = ln(-3y + xy) e o objetivo é achar a derivada mista fxy . Isso está no campo das derivadas parciais, uma parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos primeiro derivar f em relação a x e depois derivar o resultado em relação a y .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, fx . Sabemos que a derivada de ln(u) em relação a x é 1u cdot dudx , onde u é uma função de x .
Aqui, u = -3y + xy , então:
dudx = y
Portanto:
fx = 1-3y + xy cdot y = y-3y + xy

Passo 3

Agora, vamos derivar fx em relação a y para encontrar fxy . Temos:
fx = y-3y + xy
Para derivar isso em relação a y , usamos a regra do quociente, que diz que:
ddy(ab) = a' cdot b - a cdot b'b^2
Onde a = y e b = -3y + xy . Calculando as derivadas:
a' = 1
b' = -3 + x
Aplicando a regra do quociente:
fxy = 1 cdot (-3y + xy) - y cdot (-3 + x)(-3y + xy)^2
Simplificando o numerador:
-3y + xy + 3y - xy = 0
Portanto:
fxy = 0(-3y + xy)^2 = 0

Resposta

A derivada mista fxy é igual a zero.

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