Considere a função f(x, y)=ln (-3 y+x y).
Determine os domínios de f, fx y e fy x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y) = ln(-3y + xy) e precisamos descobrir os domínios de f , fxy e fyx . Para isso, vamos precisar entender sobre domínio de função e derivadas parciais. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função f(x, y) . O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) onde a função está definida.
Como temos uma função logarítmica ln(cdot) , o argumento dentro do log deve ser maior que zero. Então, temos:
-3y + xy > 0
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições sobre x e y .

Passo 3

Resolvendendo a desigualdade:
xy - 3y > 0 y(x - 3) > 0
Para que o produto y(x - 3) seja positivo, devemos ter ambos os fatores positivos ou ambos negativos.
Caso 1: y > 0 e x - 3 > 0 Rightarrow x > 3
Caso 2: y < 0 e x - 3 < 0 Rightarrow x < 3
Então, o domínio de f é todo par (x, y) onde:
  • y > 0 e x > 3 , ou
  • y < 0 e x < 3

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: fxy e fyx .
Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial em relação a x :
fx = partialpartial x ln(-3y + xy) = y-3y + xy = yy(x - 3) = 1x - 3
Agora, derivamos fx em relação a y para encontrar fxy :
fxy = partialpartial y ( 1x - 3 ) = 0
De forma similar, derivamos f primeiro em relação a y :
fy = partialpartial y ln(-3y + xy) = -3 + x-3y + xy = x - 3y(x - 3) = 1y
E então derivamos fy em relação a x para encontrar fyx :
fyx = partialpartial x ( 1y ) = 0

Passo 5

Como as derivadas parciais fxy e fyx são iguais a zero em todo o domínio de f , seus domínios são os mesmos que o domínio de f .

Resposta

  • Domínio de f : Todos os pares (x, y) onde y > 0 e x > 3 , ou y < 0 e x < 3 .
  • Domínio de fxy e fyx : Mesmos do domínio de f .

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