Considere a função
.
Determine os domínios de
e
.
Determine os domínios de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos descobrir os domínios de
,
e
. Para isso, vamos precisar entender sobre domínio de função e derivadas parciais. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os pares
onde a função está definida.
Como temos uma função logarítmica
, o argumento dentro do log deve ser maior que zero. Então, temos:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições sobre
e
.
Passo 3
Resolvendendo a desigualdade:
Para que o produto
seja positivo, devemos ter ambos os fatores positivos ou ambos negativos.
Caso 1:
e
Caso 2:
e
Então, o domínio de
é todo par
onde:
-
e , ou -
e
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
e
.
Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
De forma similar, derivamos
primeiro em relação a
:
E então derivamos
em relação a
para encontrar
:
Passo 5
Como as derivadas parciais
e
são iguais a zero em todo o domínio de
, seus domínios são os mesmos que o domínio de
.
Resposta
- Domínio de
: Todos os pares onde e , ou e . - Domínio de
e : Mesmos do domínio de .