Considere a função g(x, y)=x y^2-x^3x+y.
Determine o limite lim (x, y) (0,0) x y^2-x^3x+y.

Passo 1

Então, temos que calcular o limite da função g(x, y) = x y^2 - x^3x + y quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . Isso faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto (0, 0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de (0, 0) . Vamos tentar o caminho onde y = kx , onde k é uma constante qualquer. Substituindo y por kx na função:
g(x, kx) = x (k x)^2 - x^3x + kx = x k^2 x^2 - x^3x(1 + k) = k^2 x^3 - x^3x(1 + k)

Passo 3

Simplificando a expressão, temos:
g(x, kx) = x^3(k^2 - 1)x(1 + k) = x^2(k^2 - 1)1 + k
Como x está no numerador e ao quadrado, quando x se aproxima de 0, x^2 também se aproxima de 0. Portanto:
limx to 0 x^2(k^2 - 1)1 + k = 0

Passo 4

Agora, vamos testar outro caminho para garantir que o limite seja realmente 0. Vamos escolher y = x^2 e substituir na função:
g(x, x^2) = x (x^2)^2 - x^3x + x^2 = x^5 - x^3x(1 + x) = x^3(x^2 - 1)x(1 + x) = x^2(x^2 - 1)1 + x

Passo 5

Simplificando novamente:
g(x, x^2) = x^4 - x^21 + x
Quando x se aproxima de 0, tanto x^4 quanto x^2 se aproximam de 0, então:
limx to 0 x^4 - x^21 + x = 0

Resposta

O limite é igual a 0 .

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