Considere a função f(x, y)=ln (-3 y+x y).
Determine a derivada fy x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função f(x, y) = ln(-3y + xy) e nos pede para encontrar a derivada mista fyx . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de derivação, como a derivada da função logarítmica e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, fy . A função é f(x, y) = ln(-3y + xy) . Lembrando que a derivada de ln(u) em relação a u é 1u , e aplicamos a regra da cadeia:
fy = ddy ln(-3y + xy) = 1-3y + xy cdot ddy(-3y + xy)
Agora, derivamos o interior:
ddy(-3y + xy) = -3 + x
Então,
fy = -3 + x-3y + xy

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada parcial de fy em relação a x , ou seja, fyx . Temos:
fy = -3 + x-3y + xy
Para derivar isso em relação a x , usamos a regra do quociente, que diz que se h(x) = N(x)D(x) , então:
h'(x) = N'(x)D(x) - N(x)D'(x)[D(x)]^2
Aplicando isso:
  • N(x) = -3 + x N'(x) = 1
  • D(x) = -3y + xy D'(x) = y
Então,
fyx = 1 cdot (-3y + xy) - (-3 + x) cdot y(-3y + xy)^2
Simplificando o numerador:
-3y + xy + 3y - xy = 0
Portanto,
fyx = 0(-3y + xy)^2 = 0

Resposta

A derivada mista fyx é igual a 0.

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