Encontre o raio de convergência e intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Raiz para determinar o raio de convergência. Depois, verificamos as extremidades desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o raio de convergência
da série. Usamos o Teste da Raiz, que diz que:
Aqui,
. A gente calcula o limite:
Quando
cresce,
tende a 1, porque
. Então:
Portanto:
Passo 3
Agora que sabemos que o raio de convergência é
, o intervalo de convergência está centrado em 0 e vai de
a
. Mas precisamos verificar se a série converge ou não nos pontos finais
e
.
Passo 4
Vamos verificar em
e
:
- Para
:
Essa é uma série alternada com termos decrescentes e que tendem a zero. Pelo Teste da Série Alternada, ela converge.
- Para
:
Essa é uma p-série com
, que também converge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.