Encontre o raio de convergência e intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty (-1)^n x^nn^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (-1)^n x^nn^3. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Raiz para determinar o raio de convergência. Depois, verificamos as extremidades desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o raio de convergência R da série. Usamos o Teste da Raiz, que diz que:
1R = limsupn to infty raiz[n]|an|
Aqui, an = (-1)^nn^3. A gente calcula o limite:
raiz[n]|an| = raiz[n]1n^3 = 1n^3/n
Quando n cresce, n^3/n tende a 1, porque n^1/n to 1. Então:
limn to infty 1n^3/n = 1
Portanto:
1R = 1 implies R = 1

Passo 3

Agora que sabemos que o raio de convergência é R = 1, o intervalo de convergência está centrado em 0 e vai de -1 a 1. Mas precisamos verificar se a série converge ou não nos pontos finais x = -1 e x = 1.

Passo 4

Vamos verificar em x = 1 e x = -1:
  1. Para x = 1:
sumn=1^infty (-1)^n (1)^nn^3 = sumn=1^infty (-1)^nn^3
Essa é uma série alternada com termos decrescentes e que tendem a zero. Pelo Teste da Série Alternada, ela converge.
  1. Para x = -1:
sumn=1^infty (-1)^n (-1)^nn^3 = sumn=1^infty 1n^3
Essa é uma p-série com p = 3 > 1, que também converge.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1,, 1].

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