Encontre o raio de convergência e intervalo de convergência da série.
sumn=0^infty x^2 n(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty x^2n(2n)!. Vamos usar o conteúdo de séries de potências e, para isso, vamos precisar aplicar o Teste da Razão para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a descobrir se uma série infinita converge ou não. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo geral an+1 e an quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos an:
an = x^2n(2n)!
Agora, encontramos an+1:
an+1 = x^2(n+1)(2(n+1))! = x^2n + 2(2n + 2)!
Agora, montamos a razão an+1an:
an+1an = x^2n + 2(2n + 2)!x^2n(2n)! = x^2(2n + 1)(2n + 2)

Passo 4

Agora, calculamos o limite L:
L = limn to infty | x^2(2n + 1)(2n + 2) |
À medida que n cresce, o denominador (2n + 1)(2n + 2) cresce muito mais rápido que o numerador x^2. Portanto:
L = limn to infty x^24n^2 + 6n + 2 = 0

Passo 5

Como o limite L = 0 é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todos os valores de x. Portanto, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência abrange todo o conjunto dos números reais.

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (-infty, +infty).

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