Encontre o raio de convergência e intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Vamos usar o conteúdo de séries de potências e, para isso, vamos precisar aplicar o Teste da Razão para determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a descobrir se uma série infinita converge ou não. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo geral e quando tende ao infinito:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos an:
À medida que n cresce, o denominador (2n + 1)(2n + 2) cresce muito mais rápido que o numerador x^2. Portanto:
L = limn to infty x^24n^2 + 6n + 2 = 0
Passo 5
Como o limite L = 0 é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todos os valores de x. Portanto, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência abrange todo o conjunto dos números reais.
Resposta
O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (-infty, +infty).