Considere a função f(x, y)=ln (2 x+y).
Determine os domínios de f, fx y e fy x.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=ln(2x+y)
e pede o domínio de f e dos mistas fxy e fyx. Vamos usar a condição de existência do logaritmo (argumento positivo) e aplicar a regra da cadeia para obter as derivadas.

Passo 2

Para f existir, é preciso
2x+y>0
Logo o domínio de f é
D(f)=(x,y)inR^2mid2x+y>0

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia nas derivadas primeiras temos
fx=partialpartial xln(2x+y)=22x+y, fy=partialpartial yln(2x+y)=12x+y
Essas fórmulas exigem 2x+yneq0, mas como estamos em 2x+y>0, ambas estão definidas em todo D(f).

Passo 4

Agora as derivadas mistas:
fxy=partialpartial yl(22x+yr) =-2(2x+y)^2, fyx=partialpartial xl(12x+yr) =-2(2x+y)^2
O denominador exige 2x+yneq0, mas novamente só faz sentido onde 2x+y>0. Portanto ambas estão definidas em D(f).

Resposta

D(f)=(x,y)inR^2mid2x+y>0
D(fxy)=(x,y)inR^2mid2x+y>0
D(fyx)=(x,y)inR^2mid2x+y>0

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