Utilize, apenas, a definição de transformada de Laplace e encontre a trans mada de Laplace da função f(t)=13 t^7, isto é, encontre
L13 t^7
utilizando a definição. Apresente sua solução de forma detalhada!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a Transformada de Laplace da função f(t) = 13 t^7 usando apenas a definição dessa transformada. Então, a gente vai trabalhar com o conceito de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar entender a definição básica e aplicar alguns passos de cálculo integral para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Aqui, s é uma variável complexa e t é o tempo. Nossa função é f(t) = 13 t^7 , então vamos substituir isso na definição.

Passo 3

Substituindo f(t) na definição, temos:
L13 t^7 = integral0^infty e^-st cdot 13 t^7 , dt
Podemos tirar o 13 para fora da integral já que é uma constante:
L13 t^7 = 13 integral0^infty e^-st t^7 , dt

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Existe uma fórmula padrão para integrais do tipo integral0^infty e^-st t^n , dt , que é:
integral0^infty e^-st t^n , dt = n!s^n+1
Onde n! é o fatorial de n . No nosso caso, n = 7 .

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa integral:
integral0^infty e^-st t^7 , dt = 7!s^8
Vamos calcular 7! , que é:
7! = 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 5040

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da Transformada de Laplace:
L13 t^7 = 13 times 5040s^8
Multiplicando os números:
13 times 5040 = 65520

Passo 7

Então, nossa Transformada de Laplace fica:
L13 t^7 = 65520s^8

Resposta

A Transformada de Laplace de f(t) = 13 t^7 é:
L13 t^7 = 65520s^8

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