Utilize, apenas, a definição de transformada de Laplace e encontre a trans mada de Laplace da função
, isto é, encontre
utilizando a definição. Apresente sua solução de forma detalhada!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a Transformada de Laplace da função
usando apenas a definição dessa transformada. Então, a gente vai trabalhar com o conceito de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar entender a definição básica e aplicar alguns passos de cálculo integral para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa e
é o tempo. Nossa função é
, então vamos substituir isso na definição.
Passo 3
Substituindo
na definição, temos:
Podemos tirar o 13 para fora da integral já que é uma constante:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. Existe uma fórmula padrão para integrais do tipo
, que é:
Onde
é o fatorial de
. No nosso caso,
.
Passo 5
Aplicando essa fórmula à nossa integral:
Vamos calcular
, que é:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da Transformada de Laplace:
Multiplicando os números:
Passo 7
Então, nossa Transformada de Laplace fica:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: