Considere a função
f(x)=(sen(2 x)+cos (3 x)x^2+1)^3
e determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=gl(sin(2x)+cos(3x)x^2+1gr)^3
no ponto (0,1). Para isso precisamos calcular f(0) (já dado como 1) e a derivada f'(0), e então usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Definindo
g(x)=sin(2x)+cos(3x)x^2+1,
temos por regra da cadeia
f'(x)=3,g(x)^2,g'(x)

Passo 3

Para obter g'(x) aplicamos a regra do quociente: se g(x)=u(x)v(x), então
g'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)v(x)^2
Aqui u(x)=sin(2x)+cos(3x) e v(x)=x^2+1, logo
u'(x)=2cos(2x)-3sin(3x), v'(x)=2x,
g'(x) =l(2cos(2x)-3sin(3x)r),(x^2+1)-(sin(2x)+cos(3x)),(2x)(x^2+1)^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=0:
g(0)=sin(0)+cos(0)0^2+1=0+11=1,
g'(0) =l(2cos(0)-3sin(0)r)cdot1-(0+1)cdot01^2 =2cdot1-01=2

Passo 5

Substituindo em f'(x)=3,g(x)^2,g'(x), obtemos
f'(0)=3cdot[,g(0),]^2cdot g'(0)=3cdot1^2cdot2=6

Passo 6

A equação da reta tangente em x=0 é
y - f(0) = f'(0),(x-0)
ou seja
y - 1 = 6x Longrightarrow y = 6x + 1

Resposta

y = 6x + 1

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