Encontre a derivada das seguintes funções:
§ f(x)=(1+x^5 cotg(x))^-8

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = l(1 + x^5cot(x)r)^-8
e pede sua derivada. Para isso vamos usar a regra da cadeia (para potências de função), a regra do produto (para x^5cot(x)) e a derivada de cot(x), que é -csc^2(x).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para
f(x) = l(u(x)r)^-8
temos
f'(x) = -8,l(u(x)r)^-9,u'(x),
em que
u(x) = 1 + x^5cot(x)

Passo 3

Agora calculamos
u'(x) = ddxl(1 + x^5cot(x)r) = ddxl(x^5cot(x)r)
Pela regra do produto,
ddxl(x^5cot(x)r) = x^5,ddxl(cot(x)r) + cot(x),ddxl(x^5r)
Como ddx[cot(x)] = -csc^2(x) e ddx[x^5] = 5x^4, segue
u'(x) = x^5l(-csc^2(x)r) + cot(x),(5x^4) = -,x^5csc^2(x) + 5x^4cot(x)

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) = -8,l(1 + x^5cot(x)r)^-9 l(-,x^5csc^2(x) + 5x^4cot(x)r)
Podemos fatorar x^4 se quisermos uma forma mais compacta:
f'(x) = -8,x^4,l(1 + x^5cot(x)r)^-9 l(5cot(x) - x,csc^2(x)r)

Resposta

f'(x) = -8,l(1 + x^5cot(x)r)^-9 l(5x^4cot(x) - x^5csc^2(x)r)

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