Se
ln (f(x))+f(x)^2(x^2+2x+2)=1
e f(0)=1, encontre f^prime(0).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita ln(f(x)) + f(x)^2,x^2+2x+2 = 1 com condição f(0)=1. Vamos usar diferenciação implícita envolvendo regra da cadeia, do produto e do quociente para encontrar f'(0).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
f'(x)f(x) + ddxl(f(x)^2r)cdotx^2+2x+2 + f(x)^2cdotddxl(x^2+2x+2r) = 0

Passo 3

Calculando a derivada de f(x)^2: 2f(x)f'(x). Assim a expressão fica
f'(x)f(x) + 2f(x)f'(x),x^2+2x+2 + f(x)^2,g'(x) = 0,
onde g(x)=x^2+2x+2. Isolando f'(x):
f'(x)l(1f(x) + 2f(x),g(x)r) = -f(x)^2,g'(x)

Passo 4

Agora calculamos g'(x) por quociente:
g'(x)=(2x)(x+2)-(x^2+2)cdot1(x+2)^2=x^2+4x-2(x+2)^2

Passo 5

No ponto x=0, temos f(0)=1, g(0)=1 e
g'(0)=0+0-2(2)^2=-tfrac12

Passo 6

Substituindo em
f'(0)= -1^2,(-tfrac12)tfrac11+2cdot1cdot1 = 1/23 = 16

Resposta

tfrac16

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