Encontre a derivada das seguintes funções:
(l) f(x)=ln (|x|)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função f(x) = ln(|x|) . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação para funções logarítmicas e considerar o valor absoluto presente na função.

Passo 2

Vamos relembrar que a derivada de ln(x) em relação a x é 1x . No entanto, nossa função é ln(|x|) . O valor absoluto afeta a derivada, especialmente quando x é negativo.

Passo 3

Para derivar ln(|x|) , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta ln(u) onde u = |x| é 1u cdot dudx .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dudx onde u = |x| . A derivada de |x| é x|x| , que é equivalente a sgn(x) , onde sgn(x) é a função sinal que vale 1 se x > 0 e -1 se x < 0 .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, temos:
f'(x) = 1|x| cdot x|x| = x|x|^2
Simplificando |x|^2 para x^2 , ficamos com:
f'(x) = xx^2 = 1x

Resposta

A derivada da função f(x) = ln(|x|) é f'(x) = 1x .

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