Considere a função f(z)=1(z-5)^3. Determine uma expansão de f em série de Laurent em torno de z0=5 seja válida no domínio anelar 0<|z-5|.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de f(z)=1(z-5)^3 ao redor de z0=5, válida para 0<|z-5|. O conteúdo é simplesmente reconhecer a forma de Laurent de uma função com polo de ordem 3.

Passo 2

Para simplificar, definimos a variável local w=z-5. Assim

Passo 3

Transformando em w, temos

Passo 4

Como f(z)=tfrac1w^3, essa expressão já é a série de Laurent: um único termo de ordem -3 em w. Todos os demais coeficientes são zero.

Resposta

A expansão de Laurent de f em torno de z0=5 no anel 0<|z-5| é
f(z)=1(z-5)^3
ou, em termos de séries,
f(z)=sumn=-infty^inftyan,(z-5)^n, a-3=1,;an=0;para;nneq-3

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