Considere a seqüência a1=raiz2 definida recursivamente por: an+1=raiz2+an, forall n >= 1 e lim n infty an.
a) Liste os quatro primeiros termos dessa seqüência.
b) Mostre que essa seqüência é crescente e limitada superiormente e conclua que existe lim n infty an.
c) Calcule .

Passo 1

Temos a sequência (an)nin N definida por a1=raiz2 e an+1=raiz2+an. O exercício pede: (a) calcular os quatro primeiros termos; (b) mostrar que a sequência é crescente e limitada acima; © encontrar o limite. Vamos usar indução para (b) e resolver a equação do limite em ©.

Passo 2

Calculando os quatro primeiros termos:
a1=raiz2,
a2=raiz2+raiz2,
a3=raiz2+raiz2+raiz2,
a4=raiz2+raiz2+raiz2+raiz2

Passo 3

Para mostrar que (an) é crescente, fazemos indução:
Base: a2=raiz2+raiz2>raiz2=a1, já que a função xmapstoraizx é crescente.
Passo indutivo: suponha an>an-1. Então
2+an>2+an-1
onde a raiz é crescente, logo
an+1=raiz2+an>raiz2+an-1=an

Passo 4

Para mostrar que (an) é limitada superiormente, usamos também indução com o majorante 2:
Base: a1=raiz2<2.
Passo indutivo: suponha an<2. Então
2+an<2+2=4
e portanto
an+1=raiz2+an

Passo 5

Como (an) é crescente e limitada superiormente, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas existe limntoinftyan=L.

Passo 6

Para achar L, fazemos o limite na relação de recorrência:
L=raiz2+L
Elevando ao quadrado:
L^2=2+L
L^2-L-2=0
Resolvendo essa equação, temos as raízes L=2 e L=-1. Como (an) é positiva, o limite é L=2.

Resposta

limntoinftyan=2

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