Considere a seqüência
definida recursivamente por:
e
.
a) Liste os quatro primeiros termos dessa seqüência.
b) Mostre que essa seqüência é crescente e limitada superiormente e conclua que existe
.
c) Calcule
.
a) Liste os quatro primeiros termos dessa seqüência.
b) Mostre que essa seqüência é crescente e limitada superiormente e conclua que existe
c) Calcule
Passo 1
Temos a sequência
definida por
e
. O exercício pede: (a) calcular os quatro primeiros termos; (b) mostrar que a sequência é crescente e limitada acima; © encontrar o limite. Vamos usar indução para (b) e resolver a equação do limite em ©.
Passo 2
Calculando os quatro primeiros termos:
Passo 3
Para mostrar que
é crescente, fazemos indução:
Base: , já que a função
é crescente.
Passo indutivo: suponha . Então
Base:
Passo indutivo: suponha
onde a raiz é crescente, logo
Passo 4
Para mostrar que
é limitada superiormente, usamos também indução com o majorante
:
Base: .
Passo indutivo: suponha . Então
Base:
Passo indutivo: suponha
e portanto
Passo 5
Como
é crescente e limitada superiormente, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas existe
.
Passo 6
Para achar
, fazemos o limite na relação de recorrência:
Elevando ao quadrado:
Resolvendo essa equação, temos as raízes