Desenvolva em série de potências de as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:
Passo 1
O objetivo é achar a expansão em série de potências em torno de zero da função . Esse é um caso clássico de usar séries de Maclaurin: primeiro expandimos , depois dividimos por e integramos termo a termo.
Passo 2
Sabendo que tem expansão de Maclaurin
dividimos por para obter
Passo 3
Agora integramos termo a termo de 0 até . Como temos
Passo 4
Falta determinar o intervalo de convergência. Aplicando o teste da razão em termos gerais, observa-se que
pois Cn vem de fatores fatoriais que crescem muito rápido. Isso implica raio de convergência R=infty.
Resposta
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1),(2n+1)!,conver>= para todo xin(-infty,infty)