Desenvolva em série de potências de x as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:
f(x)=integral0^x sen tt d t

Passo 1

O objetivo é achar a expansão em série de potências em torno de zero da função f(x)=integral0^xsin tt,dt. Esse é um caso clássico de usar séries de Maclaurin: primeiro expandimos sin t, depois dividimos por t e integramos termo a termo.

Passo 2

Sabendo que sin t tem expansão de Maclaurin
sin t=sumn=0^infty(-1)^nt^2n+1(2n+1)!,
dividimos por t para obter
sin tt=sumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n+1)!

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 até x. Como f(x)=integral0^xsin ttdt=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1),(2n+1)! temos

Passo 4

Falta determinar o intervalo de convergência. Aplicando o teste da razão em termos gerais, observa-se que
limntoinfty|an+1x^2(n+1)+1anx^2n+1|=limntoinftyCn,|x|^2=0,
pois Cn vem de fatores fatoriais que crescem muito rápido. Isso implica raio de convergência R=infty.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1),(2n+1)!,conver>= para todo xin(-infty,infty)

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