Desenvolva em série de potências de x as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:

Passo 1

O enunciado pede pra gente desenvolver em série de potências de x a função f(x)=sen(x^2) e indicar o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é série de Taylor (ou Maclaurin) e vamos usar a expansão de sen(u) em torno de zero, depois trocar u por x^2.

Passo 2

A série de Maclaurin para sen(u) é dada por:
sen(u)=sumk=0^infty(-1)^ku^2k+1(2k+1)!
Essa expansão vem de derivar várias vezes sen(u) em zero e montar o polinômio de Taylor, e tem raio de convergência infinito.

Passo 3

Agora basta fazer a substituição u=x^2 nessa série. A gente coloca u^2k+1=(x^2)^2k+1=x^4k+2, obtendo:
sen(x^2)=sumk=0^infty(-1)^k(x^2)^2k+1(2k+1)!=sumk=0^infty(-1)^kx^4k+2(2k+1)!

Passo 4

Por fim, como a série de sen(u) converge para todo uinR, ao substituir u=x^2 continuamos com raio de convergência infinito em x. Ou seja, a série converge para qualquer xin(-infty,infty).

Resposta

sen(x^2)=sumk=0^infty(-1)^kx^4k+2(2k+1)!, xin(-infty,infty)

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