Desenvolva em série de potências de
as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:
Passo 1
O enunciado pede pra gente desenvolver em série de potências de x a função
e indicar o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é série de Taylor (ou Maclaurin) e vamos usar a expansão de
em torno de zero, depois trocar
por
.
Passo 2
A série de Maclaurin para
é dada por:
Essa expansão vem de derivar várias vezes
em zero e montar o polinômio de Taylor, e tem raio de convergência infinito.
Passo 3
Agora basta fazer a substituição
nessa série. A gente coloca
, obtendo:
Passo 4
Por fim, como a série de
converge para todo
, ao substituir
continuamos com raio de convergência infinito em
. Ou seja, a série converge para qualquer
.