(1.8) Considere a função
Determine a função inversa
e a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função dada por
e precisa encontrar a função inversa dessa função, ou seja,
. Além disso, a gente também vai descobrir qual é a imagem da função inversa. Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a função inversa
“desfaz” o que a função original
faz. Ou seja, se aplicarmos
e depois
, voltamos ao valor inicial.
Passo 3
Para encontrar a função inversa, vamos trocar
por
para facilitar a manipulação. Então, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para
em termos de
.
Passo 4
Primeiro, vamos isolar o logaritmo. Subtraímos 3 de ambos os lados:
Passo 5
Agora, para eliminar o logaritmo, usamos a função exponencial em ambos os lados. Lembrando que
, temos:
Passo 6
Finalmente, isolamos
adicionando 1 em ambos os lados:
Passo 7
Agora, trocamos
por
para obter a função inversa:
Passo 8
Para encontrar a imagem da função inversa, lembramos que a imagem de
é o conjunto de todos os possíveis valores de saída de
. Observando a expressão
, sabemos que a função exponencial
é sempre positiva, ou seja,
.
Passo 9
Somando 1, temos:
Então, a imagem de
é todos os números reais maiores que 1.
Resposta
A função inversa é
e a imagem de
é
.