(1.8) Considere a função
f(x)=ln (x-1)+3
Determine a função inversa f^-1(x) e a imagem de f^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função dada por f(x) = ln(x - 1) + 3 e precisa encontrar a função inversa dessa função, ou seja, f^-1(x) . Além disso, a gente também vai descobrir qual é a imagem da função inversa. Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a função inversa f^-1(x) “desfaz” o que a função original f(x) faz. Ou seja, se aplicarmos f e depois f^-1 , voltamos ao valor inicial.

Passo 3

Para encontrar a função inversa, vamos trocar f(x) por y para facilitar a manipulação. Então, temos:
y = ln(x - 1) + 3
Agora, vamos resolver essa equação para x em termos de y .

Passo 4

Primeiro, vamos isolar o logaritmo. Subtraímos 3 de ambos os lados:
y - 3 = ln(x - 1)

Passo 5

Agora, para eliminar o logaritmo, usamos a função exponencial em ambos os lados. Lembrando que e^ln(a) = a , temos:
e^y - 3 = x - 1

Passo 6

Finalmente, isolamos x adicionando 1 em ambos os lados:
x = e^y - 3 + 1

Passo 7

Agora, trocamos y por x para obter a função inversa:
f^-1(x) = e^x - 3 + 1

Passo 8

Para encontrar a imagem da função inversa, lembramos que a imagem de f^-1 é o conjunto de todos os possíveis valores de saída de f^-1 . Observando a expressão f^-1(x) = e^x - 3 + 1 , sabemos que a função exponencial e^x - 3 é sempre positiva, ou seja, e^x - 3 > 0 .

Passo 9

Somando 1, temos:
e^x - 3 + 1 > 1
Então, a imagem de f^-1 é todos os números reais maiores que 1.

Resposta

A função inversa é f^-1(x) = e^x - 3 + 1 e a imagem de f^-1 é (1, infty) .

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