Use critério da razão para estudar a convergência das séries
sumn=0^infty(-1)^n n^35^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=0^infty(-1)^nn^35^n
usando o critério da razão. Como o critério da razão analisa o comportamento de lvert an+1/anrvert, vamos primeiro isolar a parte positiva
lvert anrvert = n^35^n.

Passo 2

Aplicamos o critério da razão, calculando
L = limntoinftylvert an+1rvertlvert anrvert = limntoinfty tfrac(n+1)^35^,n+1tfracn^35^,n

Passo 3

Simplificando a razão, obtemos
lvert an+1rvertlvert anrvert = (n+1)^35,n^3 = 15l(1+1nr)^3
Assim
L = limntoinfty15l(1+1nr)^3 = 15

Passo 4

Como L = 1/5 < 1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente. Dessa forma, ela converge (absolutamente).

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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