(1.5) Encontre os valores de e que tornam a função contínua em todos os números reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada f(x) que está dividida em três partes diferentes, dependendo do valor de x . O objetivo aqui é encontrar os valores de m e n que fazem com que essa função seja contínua em todos os números reais. Isso significa que não pode ter “saltos” ou “quebras” na função quando a gente passa de uma parte pra outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda e pelo lado direito desse ponto forem iguais e também iguais ao valor da função naquele ponto. No nosso caso, precisamos garantir que a transição entre as três partes da função não tenha esse “salto”.
Passo 3
Vamos identificar os pontos onde a função muda de uma expressão para outra. Olhando para a definição de f(x) , vemos que isso acontece em x = -1 e x = 2 . Então, vamos garantir que a função seja contínua nesses dois pontos.
Passo 4
No ponto x = -1 :
A função para x < -1 é 3x + 5 .
A função para -1 <= x <= 2 é m x^2 + n .
Para que não haja salto em x = -1 , o valor de f(x) pelo lado esquerdo (usando 3x + 5 ) deve ser igual ao valor pelo lado direito (usando m x^2 + n ).
Vamos calcular:
limx to -1^- f(x) = 3(-1) + 5 = -3 + 5 = 2
limx to -1^+ f(x) = m(-1)^2 + n = m + n
Igualando os dois limites:
m + n = 2 — Equação 1
Passo 5
No ponto x = 2 :
A função para -1 <= x <= 2 é m x^2 + n .
A função para x > 2 é 6 - x2 .
Novamente, para que não haja salto em x = 2 , o valor de f(x) pelo lado esquerdo (usando m x^2 + n ) deve ser igual ao valor pelo lado direito (usando 6 - x2 ).
Vamos calcular:
limx to 2^- f(x) = m(2)^2 + n = 4m + n
limx to 2^+ f(x) = 6 - 22 = 6 - 1 = 5
Igualando os dois limites:
4m + n = 5 — Equação 2
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
m + n = 2
4m + n = 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de m e n .
Primeiro, podemos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
(4m + n) - (m + n) = 5 - 2
Isso simplifica para:
3m = 3
Dividindo ambos os lados por 3:
m = 1
Agora que temos o valor de m , vamos substituir na Equação 1 para encontrar n :
1 + n = 2
Subtraindo 1 de ambos os lados:
n = 1
Resposta
Os valores que tornam a função f(x) contínua em todos os números reais são m = 1 e n = 1 .