Use critério da comparação para estudar a convergência das séries
sumn=0^infty 2 nn^2+2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Critério da Comparação para analisar se a série sumn=0^infty 2nn^2+2n+1 converge ou diverge. Então, vamos precisar entender o que é o Critério da Comparação e como aplicá-lo para comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: 2nn^2+2n+1. Para facilitar nossa análise, vamos simplificar essa expressão. Observamos que no denominador temos n^2 + 2n + 1, que pode ser fatorado como (n + 1)^2. Então, a fração fica:
2n(n + 1)^2
Agora, para aplicar o Critério da Comparação, precisamos comparar essa série com outra cujo comportamento já conhecemos. Um bom candidato é a série sumn=0^infty 1n, que é a famosa série harmônica e sabemos que ela diverge.

Passo 3

Vamos comparar os termos das duas séries. Observando:
2n(n + 1)^2 e 1n
Queremos ver como esses termos se comportam quando n fica muito grande. Simplificando a primeira fração para grandes valores de n, podemos considerar que n + 1 approx n, então:
2n(n + 1)^2 approx 2nn^2 = 2n
Assim, para n grande, 2n(n + 1)^2 se comporta como 2n, que é um múltiplo da série harmônica.

Passo 4

Agora, aplicando o Critério da Comparação, se compararmos os termos:
2n(n + 1)^2 >= 1n para todo n >= 1
Como a série sumn=0^infty 1n diverge e nossos termos são maiores ou iguais a ela, pelo Critério da Comparação, a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=0^infty 2nn^2+2n+1 diverge pelo Critério da Comparação.

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