Use critério da comparação para estudar a convergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Critério da Comparação para analisar se a série
converge ou diverge. Então, vamos precisar entender o que é o Critério da Comparação e como aplicá-lo para comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Para facilitar nossa análise, vamos simplificar essa expressão. Observamos que no denominador temos
, que pode ser fatorado como
. Então, a fração fica:
Agora, para aplicar o Critério da Comparação, precisamos comparar essa série com outra cujo comportamento já conhecemos. Um bom candidato é a série
, que é a famosa série harmônica e sabemos que ela diverge.
Passo 3
Vamos comparar os termos das duas séries. Observando:
Queremos ver como esses termos se comportam quando
fica muito grande. Simplificando a primeira fração para grandes valores de
, podemos considerar que
, então:
Assim, para
grande,
se comporta como
, que é um múltiplo da série harmônica.
Passo 4
Agora, aplicando o Critério da Comparação, se compararmos os termos:
Como a série
diverge e nossos termos são maiores ou iguais a ela, pelo Critério da Comparação, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Critério da Comparação.