Considere a Função f(x, y)=raiz9-(x-5)^2-raiz4-(y-3)^2
Represente graficamente o domínio da função f e calcule a área dessa região

Passo 1

Então, temos a função f(x, y) = raiz9 - (x-5)^2 - raiz4 - (y-3)^2 . O objetivo aqui é descobrir para quais valores de x e y essa função está definida, ou seja, determinar o domínio dela. Depois, vamos representar esse domínio graficamente e calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de domínio de funções e de como representar graficamente regiões no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x, y) = raiz9 - (x-5)^2 - raiz4 - (y-3)^2 . Para que a função esteja definida, o que está dentro das raízes quadradas precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte da função: raiz9 - (x-5)^2 . Para que essa expressão seja real, o que está dentro da raiz deve ser não negativo:
9 - (x-5)^2 >= 0
Isso significa que:
(x-5)^2 <= 9
Resolvendo essa desigualdade:
-3 <= x - 5 <= 3
Adicionando 5 em todas as partes:
2 <= x <= 8
Então, x deve estar entre 2 e 8.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: raiz4 - (y-3)^2 . Da mesma forma, o que está dentro da raiz deve ser não negativo:
4 - (y-3)^2 >= 0
Isso implica:
(y-3)^2 <= 4
Resolvendo a desigualdade:
-2 <= y - 3 <= 2
Somando 3 em todas as partes:
1 <= y <= 5
Então, y deve estar entre 1 e 5.

Passo 5

Com isso, o domínio da função f(x, y) é o conjunto de pares (x, y) onde x está entre 2 e 8, e y está entre 1 e 5. Isso pode ser representado graficamente como um retângulo no plano xy com as coordenadas dos cantos em (2,1), (8,1), (8,5) e (2,5).

Passo 6

Agora, para calcular a área desse domínio, que é um retângulo, usamos a fórmula da área do retângulo:
Área = base times a<ura Á
A base é a diferença entre os valores de x : 8 - 2 = 6
A altura é a diferença entre os valores de y : 5 - 1 = 4
Então:
Área = 6 times 4 = 24 Á

Resposta

O domínio da função f(x, y) é o retângulo definido por 2 <= x <= 8 e 1 <= y <= 5 , e a área dessa região é 24 unidades quadradas.

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