Considere a Função
Represente graficamente o domínio da função
e calcule a área dessa região
Represente graficamente o domínio da função
Passo 1
Então, temos a função
. O objetivo aqui é descobrir para quais valores de
e
essa função está definida, ou seja, determinar o domínio dela. Depois, vamos representar esse domínio graficamente e calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de domínio de funções e de como representar graficamente regiões no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Para que a função esteja definida, o que está dentro das raízes quadradas precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte da função:
. Para que essa expressão seja real, o que está dentro da raiz deve ser não negativo:
Isso significa que:
Resolvendo essa desigualdade:
Adicionando 5 em todas as partes:
Então,
deve estar entre 2 e 8.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda parte da função:
. Da mesma forma, o que está dentro da raiz deve ser não negativo:
Isso implica:
Resolvendo a desigualdade:
Somando 3 em todas as partes:
Então,
deve estar entre 1 e 5.
Passo 5
Com isso, o domínio da função
é o conjunto de pares
onde
está entre 2 e 8, e
está entre 1 e 5. Isso pode ser representado graficamente como um retângulo no plano
com as coordenadas dos cantos em
,
,
e
.
Passo 6
Agora, para calcular a área desse domínio, que é um retângulo, usamos a fórmula da área do retângulo:
A base é a diferença entre os valores de
:
A altura é a diferença entre os valores de :
Então:
A altura é a diferença entre os valores de
Então:
Resposta
O domínio da função
é o retângulo definido por
e
, e a área dessa região é 24 unidades quadradas.