Resolva as equacoes:
y^prime=2 cdot(cos ^2 x-sen^2 x)3+2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que você me mandou:
y^prime = 2 (cos^2 x - sin^2 x)3 + 2y
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial ordinária que envolve derivadas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte que está no numerador: cos^2 x - sin^2 x. Sabia que essa expressão pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica?
A identidade é:
cos^2 x - sin^2 x = cos(2x)
Então, nossa equação fica:
y^prime = 2 cos(2x)3 + 2y

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos que envolvem y fiquem de um lado e os que envolvem x fiquem do outro.
Começamos multiplicando ambos os lados por (3 + 2y):
(3 + 2y) , y^prime = 2 cos(2x)
Lembrando que y^prime é dydx, podemos escrever:
(3 + 2y) dydx = 2 cos(2x)
Agora, separamos as variáveis:
(3 + 2y) , dy = 2 cos(2x) , dx

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos fazer isso separadamente para y e para x.
Integrando o lado esquerdo:
integral (3 + 2y) , dy
E o lado direito:
integral 2 cos(2x) , dx

Passo 5

Vamos resolver as integrações:
  1. Integral do lado esquerdo:
integral (3 + 2y) , dy = 3 integral dy + 2 integral y , dy = 3y + y^2 + C1
  1. Integral do lado direito:
integral 2 cos(2x) , dx
Para integrar cos(2x), usamos a substituição u = 2x, então du = 2 dx, o que nos dá:
integral 2 cos(2x) , dx = integral cos(u) , du = sin(u) + C2 = sin(2x) + C2

Passo 6

Agora, juntamos as integrações:
3y + y^2 + C1 = sin(2x) + C2
Podemos simplificar isso combinando as constantes C1 e C2 em uma única constante C:
3y + y^2 = sin(2x) + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 + 3y = sin(2x) + C
onde C é a constante de integração.

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