Resolva as equacoes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que você me mandou:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial ordinária que envolve derivadas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte que está no numerador:
. Sabia que essa expressão pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica?
A identidade é:
Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos que envolvem
fiquem de um lado e os que envolvem
fiquem do outro.
Começamos multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
é
, podemos escrever:
Agora, separamos as variáveis:
Passo 4
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos fazer isso separadamente para
e para
.
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 5
Vamos resolver as integrações:
- Integral do lado esquerdo:
- Integral do lado direito:
Para integrar
, usamos a substituição
, então
, o que nos dá:
Passo 6
Agora, juntamos as integrações:
Podemos simplificar isso combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.