Considere a função g(x)=e^1x.
Determine os intervalos de crescimento e descrescimento de g.

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
g(x)=e^1x
é crescente ou decrescente. O método clássico é usar derivada e analisar seu sinal nos intervalos de domínio.

Passo 2

Primeiro observamos o domínio de g: como há divisão por x em tfrac1x, temos
Domínio(g)=(-infty,0)cup(0,infty) í
Portanto, devemos estudar monotonicidade em cada um desses dois intervalos.

Passo 3

Calculamos a derivada de g usando a regra da cadeia. Aplicando l(e^ur)'=e^u,u' com u(x)=tfrac1x, obtemos
g'(x)=e^1xcdotl(1xr)'=e^1xcdotl(-tfrac1x^2r)=-e^1xx^2

Passo 4

Para todo xneq0 temos e^1x>0 e x^2>0. Logo o quociente tfrace^1xx^2 é positivo, e com o sinal “–” à frente vem
g'(x)<0forall xin(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 5

Como g'(x) é negativo em toda parte do domínio, concluímos que g é estritamente decrescente em cada um dos intervalos em que está definida.

Resposta

A função g(x)=e^1x é estritamente decrescente em (-infty,0) e em (0,infty); não há nenhum intervalo de crescimento.

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