Considere a função
.
Estude
quanto a concavidade e pontos de inflexão.
Estude
Passo 1
O enunciado pede para estudar a concavidade de
e identificar os pontos de inflexão. Vamos precisar de derivadas de primeira e segunda ordem e analisar onde a segunda derivada muda de sinal.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando regra da cadeia. Como
com
, temos
Passo 3
Agora aplicamos produto e cadeia para obter a segunda derivada de
.
Calculando cada parte:
e
.
Substituindo,
e
Substituindo,
Agrupando em denominação comum,
Passo 4
Para determinar a concavidade, observamos o sinal de
. Note que
sempre e
para todo
. Logo o sinal de
é o sinal de
- Se
, isto é , então e é côncava para cima. - Se
, isto é , então e é côncava para baixo.
Passo 5
O ponto onde
ocorre em
, ou seja
. Como à esquerda de
a concavidade é para baixo e à direita (até
e também para
) é para cima, há mudança de sinal em
. Logo, há ponto de inflexão em
Resposta
Intervalos de concavidade:
-
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em e em .
Ponto de inflexão: