Considere a função g(x)=e^1x.
Estude g quanto a concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a concavidade de g(x)=e^1x e identificar os pontos de inflexão. Vamos precisar de derivadas de primeira e segunda ordem e analisar onde a segunda derivada muda de sinal.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando regra da cadeia. Como g(x)=e^u com u=1x, temos
g'(x)=e^1xcdotddxl(tfrac1xr) =e^1xcdotl(-tfrac1x^2r) =-e^1xx^2

Passo 3

Agora aplicamos produto e cadeia para obter a segunda derivada de
g'(x)=-x^-2,e^1x.
g''(x) =ddxl(-x^-2r),e^1x +(-x^-2)ddxl(e^1xr)
Calculando cada parte:
ddx(-x^-2)=2x^-3
e
ddx(e^1x)=e^1xcdot(-x^-2).
Substituindo,
g''(x) =2x^-3e^1x +(-x^-2)l(e^1x(-x^-2)r) =e^1xl(2x^3+1x^4r)
Agrupando em denominação comum,
g''(x) =e^1x,1+2xx^4

Passo 4

Para determinar a concavidade, observamos o sinal de g''(x). Note que e^1x>0 sempre e x^4>0 para todo xneq0. Logo o sinal de g''(x) é o sinal de
1+2x
  • Se 1+2x>0, isto é x>-tfrac12, então g''(x)>0 e g é côncava para cima.
  • Se 1+2x<0, isto é x<-tfrac12, então g''(x)<0 e g é côncava para baixo.

Passo 5

O ponto onde g''(x)=0 ocorre em 1+2x=0, ou seja x=-tfrac12. Como à esquerda de -tfrac12 a concavidade é para baixo e à direita (até 0 e também para x>0) é para cima, há mudança de sinal em x=-tfrac12. Logo, há ponto de inflexão em
l(-tfrac12,;g(-tfrac12)r) =l(-tfrac12,;e^-2r)

Resposta

Intervalos de concavidade:
  • g é côncava para baixo em (-infty,-tfrac12).
  • g é côncava para cima em (-tfrac12,0) e em (0,infty).
Ponto de inflexão:
l(-tfrac12,;e^-2r)

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