Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 5 n2 n^2-5

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty5n2n^2-5
converge ou diverge. Aqui vamos usar o teste de convergência para séries de termos gerais e, em seguida, o teste de comparação por limite com a série harmônica.

Passo 2

Primeiro, verificamos a condição necessária de convergência de uma série:
an = 5n2n^2-5Longrightarrow limntoinftyan=0
De fato,
limntoinfty5n2n^2-5 =limntoinfty52n-tfrac5n =0
Então a condição necessária está satisfeita, mas isso não garante convergência.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação por limite com a série harmônica sumn=1^infty1n, que é conhecida por divergir. Calculamos
limntoinfty 5n2n^2-5 1n =limntoinfty5n^22n^2-5 =52,
Como esse limite é finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento: já que sumn=1^infty1n diverge, segue que
sumn=1^infty5n2n^2-5 também diverge.

Resposta

A série diverge.

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