Considere a função g(x, y)=x^3-x y^2x-y.
Determine o limite lim (x, y) (1,1) x^3-x y^2x-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o limite da função g(x, y) = x^3 - x y^2x - y quando (x, y) se aproxima de (1, 1) . Vamos precisar usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 1 e y = 1 diretamente na função:
g(1, 1) = 1^3 - 1 cdot 1^21 - 1 = 1 - 10 = 00
Esse é um caso de indeterminação 00 , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador x^3 - x y^2 . Observamos que podemos fatorar x :
x^3 - x y^2 = x(x^2 - y^2)
Agora, lembra que x^2 - y^2 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Portanto, substituindo de volta:
x^3 - x y^2 = x(x - y)(x + y)

Passo 4

Agora, vamos substituir essa fatoração na função original:
g(x, y) = x(x - y)(x + y)x - y
Note que x - y está no numerador e no denominador, então eles se cancelam (desde que x neq y ):
g(x, y) = x(x + y)

Passo 5

Com a função simplificada, podemos calcular o limite facilmente substituindo x = 1 e y = 1 :
lim(x, y) to (1, 1) g(x, y) = lim(x, y) to (1, 1) x(x + y) = 1(1 + 1) = 2

Resposta

O limite é igual a 2 .

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