Considere a função
f(x)=x^3-6 x^2+9 x+2
Determine os máximos e mínimos absolutos de f no intervalo [-4,4].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^3-6x^2+9x+2 definida no intervalo fechado [-4,4] e pede os máximos e mínimos absolutos. Para isso vamos usar o Teorema de Weierstrass: em intervalo fechado e contínuo, os extremos ocorrem nos pontos críticos (onde f'(x)=0) ou nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=3x^2-12x+9
e resolvemos a equação f'(x)=0:
3x^2-12x+9=0 Longrightarrow x^2-4x+3=0 Longrightarrow (x-1)(x-3)=0
Logo os pontos críticos são x=1 e x=3, ambos dentro de [-4,4].

Passo 3

Agora avaliamos f em todos os candidatos:
f(-4)=(-4)^3-6(-4)^2+9(-4)+2=-64-96-36+2=-194,
f(1)=1-6+9+2=6,
f(3)=27-54+27+2=2,
f(4)=64-96+36+2=6

Passo 4

Comparando os valores obtidos -194,6,2,6, o menor é -194 e os maiores são 6. Portanto o mínimo absoluto ocorre em x=-4 e o máximo absoluto ocorre em x=1 e x=4.

Resposta

O mínimo absoluto de f em [-4,4] é
f(-4)=-194,
e o máximo absoluto é
f(1)=f(4)=6

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