As curvas y=2 sen^2(x^2+pi / 2x^2+1)+a x e y=raiza x^2+6 x+b têm a mesma reta tangente no ponto (0,2). Quais são os valores de a e b ?

Passo 1

O enunciado dá duas curvas
y1(x)=2,sen^2!l(tfracx^2+pi/2x^2+1r)+a,x
e
y2(x)=raiza,x^2+6,x+b
e pede os valores de a e b tais que elas tenham a mesma reta tangente no ponto (0,2). Para isso precisamos de duas condições: ambas passam por (0,2) e suas derivadas em x=0 coincidem.

Passo 2

Verificamos que y1(0)=2,sen^2!l(tfrac0+pi/20+1r)+acdot0=2,sen^2!(tfracpi2)=2cdot1=2, ou seja, a primeira curva já passa em (0,2) para qualquer a.

Passo 3

Para a segunda curva impomos
y2(0)=raizacdot0^2+6cdot0+b=raizb=2
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b=4

Passo 4

Agora calculamos a derivada de y1. Definindo
u(x)=x^2+pi/2x^2+1,
temos
y1'(x)=4,sen(u(x))cos(u(x)),u'(x)+a =2,sinl(2u(x)r),u'(x)+a
Como
u'(x)=2xl((x^2+1)-(x^2+pi/2)r)(x^2+1)^2 =2x1-pi/2(x^2+1)^2,
segue u'(0)=0 e portanto
y1'(0)=a

Passo 5

Para y2 escrevemos A(x)=a,x^2+6x+b. Então
y2'(x)=A'(x)2raizA(x)=2a,x+62raiza,x^2+6x+b
Em x=0 e sabendo b=4,
y2'(0)=62raiz4=64=tfrac32

Passo 6

Igualando as derivadas em x=0:
y1'(0)=a e y2'(0)=tfrac32 Longrightarrow a=tfrac32

Resposta

a=tfrac32,;b=4.

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