Convergência Absoluta: Determine se a seguinte série converge absolutamente ou condicionalmente: sumn=1^infty (-1)^n n^2n^3+1
24. Série Trigonométrica: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n^{2}}
$$

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois exercícios sobre séries! No primeiro, queremos saber se a série sumn=1^infty (-1)^n n^2n^3+1 converge absolutamente ou condicionalmente. Já no segundo, temos uma série trigonométrica: sumn=1^infty sen(n)n^2 e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Para resolver esses problemas, vamos usar conceitos de convergência absoluta, convergência condicional, e teste de convergência para séries trigonométricas.

Passo 2

Primeiro Exercício: Convergência Absoluta ou Condicional
Vamos analisar a série sumn=1^infty (-1)^n n^2n^3+1.
Primeiro, precisamos entender a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional:
  • Convergência Absoluta: Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge. Ou seja, se sumn=1^infty | (-1)^n n^2n^3+1 | converge.
    - Convergência Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a série converge condicionalmente.

Passo 3

Vamos primeiro verificar a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n n^2n^3+1 | = sumn=1^infty n^2n^3+1
Observamos que, para n grande, n^3 + 1 approx n^3. Portanto, a série se comporta aproximadamente como:
sumn=1^infty n^2n^3 = sumn=1^infty 1n
Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que diverge. Como a série dos valores absolutos se comporta similarmente a uma série divergente, concluímos que a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente. Para isso, utilizamos o Teste da Série Alternada, que verifica se:
  1. Os termos bn = n^2n^3+1 são positivos.
  2. limn to infty bn = 0.
  3. bn é uma sequência decrescente.
Verificamos cada condição:
  1. bn = n^2n^3+1 > 0 para todo n >= 1.
  2. limn to infty n^2n^3+1 = 0, pois o grau do denominador é maior que o do numerador.
  3. A sequência bn é decrescente para n suficientemente grande, já que o denominador cresce mais rápido que o numerador.
Como todas as condições são atendidas, a série converge condicionalmente.

Passo 5

Segundo Exercício: Série Trigonométrica
Vamos analisar a série sumn=1^infty sen(n)n^2.
Aqui, sen(n) é uma função trigonométrica. Sabemos que |sen(n)| <= 1 para todo n. Portanto, podemos comparar esta série com uma série p:
sumn=1^infty 1n^2
Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^p converge se p > 1. No nosso caso, p = 2, então a série comparada converge.

Passo 6

Vamos aplicar o Teste da Comparação Absoluta. Sabendo que |sen(n)| <= 1, temos:
| sen(n)n^2 | <= 1n^2
Como a série sumn=1^infty 1n^2 converge e os termos da nossa série original são menores ou iguais a esses termos, pela comparação, concluímos que:
A série sumn=1^infty sen(n)n^2 converge.

Resposta

  1. A série sumn=1^infty (-1)^n n^2n^3+1 converge condicionalmente.
  2. A série sumn=1^infty sen(n)n^2 converge.

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