Considere a função
f(x, y)=5 x^2+3(y-2)^22 x^2+y^2+1
Determine sa curvas de nível de f para c=52 e c=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar as curvas de nível da função
f(x, y) = 5x^2 + 3(y - 2)^22x^2 + y^2 + 1
para os valores c = 52 e c = 2 . Curvas de nível são os conjuntos de pontos (x, y) onde a função assume um valor constante c . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para isolar y em função de x ou vice-versa.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função ao valor c desejado. Começaremos com c = 52 :
5x^2 + 3(y - 2)^22x^2 + y^2 + 1 = 52
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre x e y .

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
5x^2 + 3(y - 2)^2 = 52(2x^2 + y^2 + 1)
Simplificando o lado direito:
5x^2 + 3(y - 2)^2 = 5x^2 + 52y^2 + 52

Passo 4

Agora, subtraímos 5x^2 de ambos os lados para simplificar:
3(y - 2)^2 = 52y^2 + 52
Vamos expandir (y - 2)^2 :
3(y^2 - 4y + 4) = 52y^2 + 52
Distribuindo o 3:
3y^2 - 12y + 12 = 52y^2 + 52

Passo 5

Para facilitar, multiplicamos toda a equação por 2 para eliminar os denominadores:
6y^2 - 24y + 24 = 5y^2 + 5
Subtraindo 5y^2 + 5 de ambos os lados:
y^2 - 24y + 19 = 0

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática resultante:
y^2 - 24y + 19 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
y = 24 pm raiz(24)^2 - 4 cdot 1 cdot 192 cdot 1 = 24 pm raiz576 - 762 = 24 pm raiz5002 = 24 pm 10raiz52 = 12 pm 5raiz5
Então, temos dois valores para y : y = 12 + 5raiz5 e y = 12 - 5raiz5 .

Passo 7

Portanto, as curvas de nível para c = 52 são duas linhas horizontais:
y = 12 + 5raiz5 e y = 12 - 5raiz5

Passo 8

Agora, vamos repetir o mesmo processo para c = 2 :
5x^2 + 3(y - 2)^22x^2 + y^2 + 1 = 2
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
5x^2 + 3(y - 2)^2 = 2(2x^2 + y^2 + 1)
Simplificando:
5x^2 + 3(y - 2)^2 = 4x^2 + 2y^2 + 2

Passo 9

Subtraímos 4x^2 de ambos os lados:
x^2 + 3(y - 2)^2 = 2y^2 + 2
Expandindo (y - 2)^2 :
x^2 + 3(y^2 - 4y + 4) = 2y^2 + 2
Distribuindo o 3:
x^2 + 3y^2 - 12y + 12 = 2y^2 + 2

Passo 10

Subtraindo 2y^2 + 2 de ambos os lados:
x^2 + y^2 - 12y + 10 = 0
Completando o quadrado para y :
x^2 + (y^2 - 12y + 36) - 36 + 10 = 0 x^2 + (y - 6)^2 - 26 = 0 x^2 + (y - 6)^2 = 26

Resposta

As curvas de nível da função f(x, y) são:
  • Para c = 52 :
y = 12 + 5raiz5 e y = 12 - 5raiz5
  • Para c = 2 :
x^2 + (y - 6)^2 = 26

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