Considere a função
Determine sa curvas de nível de
para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar as curvas de nível da função
para os valores
e
. Curvas de nível são os conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para isolar
em função de
ou vice-versa.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função ao valor
desejado. Começaremos com
:
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, subtraímos
de ambos os lados para simplificar:
Vamos expandir
:
Distribuindo o 3:
Passo 5
Para facilitar, multiplicamos toda a equação por 2 para eliminar os denominadores:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática resultante:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois valores para
:
e
.
Passo 7
Portanto, as curvas de nível para
são duas linhas horizontais:
Passo 8
Agora, vamos repetir o mesmo processo para
:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Simplificando:
Passo 9
Subtraímos
de ambos os lados:
Expandindo
:
Distribuindo o 3:
Passo 10
Subtraindo
de ambos os lados:
Completando o quadrado para
:
Resposta
As curvas de nível da função
são:
- Para
:
- Para
: