Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
lim (x, y) (2,-2) 3 x^2-x y-4 y^2x^4-y^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar se o limite lim(x, y) (2,-2) 3x^2 - xy - 4y^2x^4 - y^4 existe e, se existir, calcular o valor. Aqui estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, então vamos precisar usar técnicas de fatoração e simplificação para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir os valores de x e y diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma direta.
Substituindo x = 2 e y = -2:
Numerador = 3(2)^2 - (2)(-2) - 4(-2)^2 = 3(4) + 4 - 4(4) = 12 + 4 - 16 = 0
Denominador = (2)^4 - (-2)^4 = 16 - 16 = 0
Obtivemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar fatorando o denominador x^4 - y^4. Essa expressão é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)
E a diferença de quadrados x^2 - y^2 pode ser fatorada mais:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Então, o denominador fica:
x^4 - y^4 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador 3x^2 - xy - 4y^2. Procuramos expressar essa expressão como o produto de dois binômios. Ou seja, queremos encontrar a, b, c, d tais que:
3x^2 - xy - 4y^2 = (ax + by)(cx + dy)
Resolvendo isso, descobrimos que:
3x^2 - xy - 4y^2 = (3x - 4y)(x + y)

Passo 5

Com as fatorações feitas, podemos reescrever a expressão original do limite:
3x^2 - xy - 4y^2x^4 - y^4 = (3x - 4y)(x + y)(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)
Observamos que o termo (x + y) está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-lo:
(3x - 4y)(x - y)(x^2 + y^2)

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir novamente x = 2 e y = -2:
3x - 4y = 3(2) - 4(-2) = 6 + 8 = 14
x - y = 2 - (-2) = 4
x^2 + y^2 = (2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8
Substituindo na expressão simplificada:
144 times 8 = 1432 = 716

Resposta

O limite existe e o seu valor é 716.

Exercícios relacionados