Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar se o limite
existe e, se existir, calcular o valor. Aqui estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, então vamos precisar usar técnicas de fatoração e simplificação para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir os valores de
e
diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma direta.
Substituindo
e
:
Obtivemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos começar fatorando o denominador
. Essa expressão é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
E a diferença de quadrados
pode ser fatorada mais:
Então, o denominador fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o numerador
. Procuramos expressar essa expressão como o produto de dois binômios. Ou seja, queremos encontrar
tais que:
Resolvendo isso, descobrimos que:
Passo 5
Com as fatorações feitas, podemos reescrever a expressão original do limite:
Observamos que o termo
está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-lo:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir novamente
e
:
Substituindo na expressão simplificada:
Resposta
O limite existe e o seu valor é
.