Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
lim (x, y) (0,0) x^3 y^33 x^4+5 y^12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o limite da função x^3 y^33 x^4+5 y^12 existe quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro do assunto de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam ao ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, para verificar se o limite existe, a gente pode calcular o limite da função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto (0,0). Se os resultados forem iguais em todos os caminhos, o limite existe e tem esse valor. Se não, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar analisando alguns caminhos simples:
  1. Caminho onde y = 0
  2. Caminho onde x = 0
  3. Caminho geral onde y = k cdot x^a , onde k é uma constante e a é um expoente que vamos determinar.

Passo 4

Primeiro caminho: y = 0
Substituindo y = 0 na função:
x^3 cdot 0^33 x^4 + 5 cdot 0^12 = 03 x^4 = 0
Então, ao longo deste caminho, o limite é 0.

Passo 5

Segundo caminho: x = 0
Substituindo x = 0 na função:
0^3 cdot y^33 cdot 0^4 + 5 y^12 = 05 y^12 = 0
Novamente, o limite é 0 ao longo deste caminho.

Passo 6

Terceiro caminho: y = k cdot x^1/3
Escolhi a = 13 porque equilibra os expoentes no numerador e denominador. Substituindo y = k cdot x^1/3 :
x^3 cdot (k cdot x^1/3)^33 x^4 + 5 (k cdot x^1/3)^12 = x^3 cdot k^3 x3 x^4 + 5 k^12 x^4 = k^3 x^4(3 + 5 k^12) x^4 = k^33 + 5 k^12
Aqui, o limite depende do valor de k !

Passo 7

Como o limite ao longo do caminho y = k cdot x^1/3 resultou em k^33 + 5 k^12, que varia conforme o valor de k , significa que diferentes caminhos que se aproximam de (0,0) dão resultados diferentes para o limite. Isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados