Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Isso está dentro do assunto de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, para verificar se o limite existe, a gente pode calcular o limite da função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto
. Se os resultados forem iguais em todos os caminhos, o limite existe e tem esse valor. Se não, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar analisando alguns caminhos simples:
- Caminho onde
- Caminho onde
- Caminho geral onde
, onde é uma constante e é um expoente que vamos determinar.
Passo 4
Primeiro caminho:
Substituindo
na função:
Então, ao longo deste caminho, o limite é 0.
Passo 5
Segundo caminho:
Substituindo
na função:
Novamente, o limite é 0 ao longo deste caminho.
Passo 6
Terceiro caminho:
Escolhi
porque equilibra os expoentes no numerador e denominador. Substituindo
:
Aqui, o limite depende do valor de
!
Passo 7
Como o limite ao longo do caminho
resultou em
, que varia conforme o valor de
, significa que diferentes caminhos que se aproximam de
dão resultados diferentes para o limite. Isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe.