Considere as funções
f(x)=cll -2 x-1 & se & x <= 0 x^2-3 & se & 0<x <= 3 x & se & x>3 e g(x)=raiz1-x
Encontre (g circ f)(x).

Passo 1

O enunciado fornece as funções
f(x)= -2x-1, & x<=0, x^2-3, & 0<x<=3, x, & x>3, g(x)=raiz1-x,
e pede a composição (gcirc f)(x). Vamos usar substituição direta em cada ramo de f e lembrar que g(u)=raiz1-u só está definida quando 1-u>=0.

Passo 2

Pela definição de composição,
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=raiz1-f(x)
Agora substituímos f(x) ramo a ramo.

Passo 3

Para x<=0, f(x)=-2x-1. Então
1-f(x)=1-(-2x-1)=2+2x,
e
(gcirc f)(x)=raiz2+2x
A exigência interna ,2+2x>=0 x>=-1. Intersectando com x<=0 obtemos
-1<= x<=0

Passo 4

Para 0<x<=3, f(x)=x^2-3. Então
1-f(x)=1-(x^2-3)=4-x^2,
e
(gcirc f)(x)=raiz4-x^2
A condição 4-x^2>=0 leva a -2<= x<=2. Intersectando com 0<x<=3 fica
0<x<=2

Passo 5

Para x>3, f(x)=x e
1-f(x)=1-x<0 (para x>3),
logo não há valores reais de (gcirc f)(x) nesse ramo.

Passo 6

Juntando tudo, a composição existe apenas para xin[-1,2] e é dada por
(gcirc f)(x)= raiz2+2x, & -1<= x<=0, raiz4-x^2, & 0< x<=2

Resposta

(gcirc f)(x)= raiz2+2x, & -1<= x<=0, raiz4-x^2, & 0< x<=2, não definida, & caso contrário ãá

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