Considere a função
f(x, y)=2 x^2+4 y^2x^2+y^2+1
Determine sa curvas de nível de f para c=1 e c=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = 2x^2 + 4y^2x^2 + y^2 + 1 e precisa descobrir as curvas de nível para c = 1 e c = 2 . Curvas de nível são aquelas onde a função assume um valor constante, ou seja, f(x, y) = c . Para resolver isso, vamos igualar a função a cada valor de c e encontrar as equações que representam essas curvas.

Passo 2

Vamos começar com c = 1 . Definimos:
2x^2 + 4y^2x^2 + y^2 + 1 = 1
Para resolver essa equação, a gente vai multiplicar ambos os lados pelo denominador para se livrar da fração:
2x^2 + 4y^2 = x^2 + y^2 + 1
Agora, vamos juntar termos semelhantes subtraindo x^2 + y^2 de ambos os lados:
2x^2 - x^2 + 4y^2 - y^2 = 1
x^2 + 3y^2 = 1
Essa é a equação da curva de nível para c = 1 .

Passo 3

Agora, vamos para c = 2 . Igualamos a função a 2:
2x^2 + 4y^2x^2 + y^2 + 1 = 2
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador:
2x^2 + 4y^2 = 2(x^2 + y^2 + 1)
2x^2 + 4y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2
Agora, subtraímos 2x^2 + 2y^2 de ambos os lados:
2x^2 - 2x^2 + 4y^2 - 2y^2 = 2
2y^2 = 2
Dividindo ambos os lados por 2:
y^2 = 1
Portanto, y = 1 ou y = -1 .

Resposta

As curvas de nível da função f(x, y) são:
  • Para c = 1 : x^2 + 3y^2 = 1
  • Para c = 2 : y = 1 e y = -1

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