(1 ponto) Seja a matriz A=[rrr2 & 1 & 0 -3 & 0 & 1 0 & 1 & 2].
(a) Calcule det A escalonando a matriz A.
(b) Resolva o sistema linear A x=b, onde b=[r7 -8 3], pela Regra de Cramer.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=2 & 1 & 0-3 & 0 & 10 & 1 & 2
e o vetor
b=7-83
Pede (a) det A usando escalonamento e (b) a solução de Ax=b pela Regra de Cramer. Vamos precisar de operações elementares para determinar o determinante e depois usar a fórmula
xi=det(Ai)det(A),
onde Ai é A com a coluna i substituída por b.

Passo 2

Vamos escalonar A a fim de torná-la triangular, lembrando que adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante.
  1. L2 L2+tfrac32,L1
  2. L3 L3-tfrac23,L2
    Isso leva a
2 & 1 & 0 0 & tfrac32 & 1 0 & 0 & tfrac43
Logo
det A = 2;cdot;tfrac32;cdot;tfrac43 ;=;4

Passo 3

Pela Regra de Cramer, se det Aneq0 então a solução de Ax=b é
xi=det(Ai)det(A),
onde Ai é obtida de A trocando-se a i-ésima coluna por b.

Passo 4

Calculamos cada det(Ai) por desenvolvimento de Laplace ou escalonamento rápido:
  1. A1=7&1&0-8&0&13&1&2
    det(A1)=7det0&11&2-1det-8&13&2=7(-1)-1(-19)=12
  2. A2=2&7&0-3&-8&10&3&2
    det(A2)=2det-8&13&2-7det-3&10&2=2(-19)-7(-6)=4
  3. A3=2&1&7-3&0&-80&1&3
    det(A3)=2det0&-81&3-1det-3&-80&3+7det-3&00&1=4
Como det A=4, vem
x1=124=3, x2=44=1, x3=44=1

Resposta

(a) det A = 4.
(b) A solução é
x=311

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