( 2,4 pontos) Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
(a) A forma escalonada de uma matriz é única.
(b) Se a equação homogênia A x=0 tem somente a solução trivial, então a equação A x=0 tem pelo menos uma variável livre.
(c) Um sistema linear homogênio pode não ter solução.
(d) Se A é uma matriz n times n invertível, então det A^-1=1det A.
(e) Se multiplicarmos a primeira linha da matriz A=[ll1 & 2 2 & 5] por -4 , então o determinante da matriz obtida é -4 det A.

Passo 1

O enunciado pede para avaliarmos cinco afirmações sobre forma escalonada de matriz, sistemas homogêneos e determinantes, dizendo se cada uma é verdadeira ou falsa e justificando. Vamos usar conceitos de operações elementares sobre linhas, classificação de variáveis livre/pivô em sistemas lineares e propriedades de determinantes (multiplicatividade na inversa e efeito de escalar uma linha).

Passo 2

(a) “A forma escalonada de uma matriz é única.”
Uma forma escalonada (não necessariamente reduzida) depende da ordem em que escolhemos pivôs e operações sobre linhas. Diferentes sequências de eliminações podem levar a formas escalonadas distintas. Só a forma escalonada reduzida por linhas é única.
Portanto, (a) é falsa.

Passo 3

(b) “Se a equação homogênea A x=0 tem somente a solução trivial, então a equação A x=0 tem pelo menos uma variável livre.”
Se o único vetor que satisfaz A x=0 é x=0, a matriz A tem posto igual ao número de colunas, ou seja, não sobra coluna sem pivô. Logo, não há variáveis livres.
Portanto, (b) é falsa.

Passo 4

(c) “Um sistema linear homogêneo pode não ter solução.”
Todo sistema homogêneo A x=0 sempre tem ao menos a solução trivial x=0. Nunca fica “sem solução”.
Portanto, (c) é falsa.

Passo 5

(d) “Se A é uma matriz ntimes n invertível, então det A^-1=tfrac1det A.”
Esta é uma propriedade clássica de determinantes de matrizes inversas.
Portanto, (d) é verdadeira.

Passo 6

(e) “Se multiplicarmos a primeira linha da matriz
A=1 & 22 & 5
por -4, então o determinante da matriz obtida é -4det A.”
Multiplicar uma linha de uma matriz por escalar lambda multiplica o determinante por lambda. Aqui lambda=-4.
Portanto, (e) é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(e) Verdadeira

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