(1 ponto)
Seja
o primeiro quadrante do plano
. Mostre que
não é um subespaço de
.
Seja
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que não é um subespaço de
.
O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais e vamos precisar usar os critérios de subespaço em .
e pede para mostrar que
O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais e vamos precisar usar os critérios de subespaço em
Passo 2
Para ser subespaço de
, um conjunto
deve satisfazer três propriedades:
.
.
. Se
, então
.
. Se
e
, então
.
Passo 3
Verificamos rapidamente que
e que a soma de dois vetores com coordenadas não negativas também tem coordenadas não negativas, logo
satisfaz (
) e (
).
Para ( ), escolhemos
e o escalar
.
Então
Para (
Então
cujas coordenadas são negativas, ou seja
.
Passo 4
Como falha o fechamento sob multiplicação por escalar,
não satisfaz todos os critérios de subespaço. Portanto,
não é um subespaço de
.