(1 ponto)
Seja W=(x, y) in R^2 mid x >= 0, y >= 0 o primeiro quadrante do plano x y. Mostre que W não é um subespaço de R^2.

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y)inR^2mid x>=0,;y>=0
e pede para mostrar que W não é um subespaço de R^2.
O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais e vamos precisar usar os critérios de subespaço em R^2.

Passo 2

Para ser subespaço de R^2, um conjunto W deve satisfazer três propriedades:
1. 0=(0,0)in W.
2. Se u,vin W, então u+vin W.
3. Se vin W e alphainR, então alphavin W.

Passo 3

Verificamos rapidamente que 0=(0,0)in W e que a soma de dois vetores com coordenadas não negativas também tem coordenadas não negativas, logo W satisfaz ( 1) e ( 2).
Para ( 3), escolhemos
v=(1,1)in W e o escalar alpha=-1.
Então
alphav=(-1),(1,1)=(-1,-1),
cujas coordenadas são negativas, ou seja (-1,-1)notin W.

Passo 4

Como falha o fechamento sob multiplicação por escalar, W não satisfaz todos os critérios de subespaço. Portanto, W não é um subespaço de R^2.

Resposta

W não é subespaço de R^2, pois (-1)(1,1)=(-1,-1)notin W, violando o fechamento por escalar.

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