Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=2 y-3raizy^2-x^2+ln (x+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e esboçar o domínio da função f(x, y) = 2y - 3raizy^2 - x^2 + ln(x + 1) . Isso envolve entender onde a função está “valendo” ou seja, para quais valores de x e y ela existe. Vamos precisar usar conceitos de funções racionais, radicais e logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da fração: 2y - 3raizy^2 - x^2 . Para essa fração ser válida, o denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser positiva (porque a raiz de número negativo não está definida nos números reais).
Então, temos duas condições:
  1. y^2 - x^2 > 0
  2. raizy^2 - x^2 neq 0 , o que já está incluso na primeira condição, já que y^2 - x^2 > 0 implica que a raiz não é zero.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a condição y^2 - x^2 > 0 . Podemos reescrever isso como y^2 > x^2 , que é o mesmo que |y| > |x| . Isso nos diz que y deve ser maior em magnitude que x .

Passo 4

Em seguida, vamos analisar a parte do logaritmo: ln(x + 1) . Para que o logaritmo seja definido, o argumento x + 1 deve ser maior que zero.
Então, temos mais uma condição:
3. x + 1 > 0 ou seja, x > -1 .

Passo 5

Agora, juntando todas as condições que encontramos:
  • |y| > |x|
  • x > -1
Isso define o domínio da função. Geometricamente, a condição |y| > |x| descreve a região entre as retas y = x e y = -x , excluindo essas linhas. E x > -1 limita essa região para a direita da linha x = -1 .

Resposta

O domínio da função f(x, y) = 2y - 3raizy^2 - x^2 + ln(x + 1) é o conjunto de todos os pares (x, y) tais que x > -1 e |y| > |x| . Graficamente, isso corresponde à área entre as retas y = x e y = -x , para todos os x maiores que -1.

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