Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e esboçar o domínio da função
. Isso envolve entender onde a função está “valendo” ou seja, para quais valores de
e
ela existe. Vamos precisar usar conceitos de funções racionais, radicais e logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da fração:
. Para essa fração ser válida, o denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser positiva (porque a raiz de número negativo não está definida nos números reais).
Então, temos duas condições:
-
-
, o que já está incluso na primeira condição, já que implica que a raiz não é zero.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a condição
. Podemos reescrever isso como
, que é o mesmo que
. Isso nos diz que
deve ser maior em magnitude que
.
Passo 4
Em seguida, vamos analisar a parte do logaritmo:
. Para que o logaritmo seja definido, o argumento
deve ser maior que zero.
Então, temos mais uma condição:
3. ou seja,
.
3.
Passo 5
Agora, juntando todas as condições que encontramos:
Isso define o domínio da função. Geometricamente, a condição
descreve a região entre as retas
e
, excluindo essas linhas. E
limita essa região para a direita da linha
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que
e
. Graficamente, isso corresponde à área entre as retas
e
, para todos os
maiores que
.