Considere a função y=a x^2
a) Determine f^prime(x) usando a definição de derivada
b) Calcule f^prime(a) e use o resultado para encontrar a equação da reta tangente à parábola no ponto de abscissa x=a.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=a x^2
e pede duas coisas: (a) a derivada f'(x) usando a definição de derivada por limite, e (b) o valor de f'(a) e a reta tangente à parábola no ponto de abscissa x=a. Para isso vamos usar a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
e em seguida aplicar a fórmula da reta tangente
y - f(x0) = f'(x0),(x - x0)

Passo 2

Aplicando a definição de derivada:
f'(x) =limhto0a(x+h)^2-a x^2h =limhto0al(x^2+2xh+h^2-x^2r)h =limhto0a(2xh+h^2)h =limhto0a(2x+h) =2a x

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=a:
f'(a)=2acdot a=2a^2

Passo 4

O ponto de tangência tem coordenadas l(a,f(a)r)=(a,acdot a^2)=(a,a^3). Logo a reta tangente em x=a é
y - a^3=2a^2(x-a)
Se quisermos isolar y, fica
y=2a^2x-2a^3+a^3=2a^2x - a^3

Resposta

a) ;f'(x)=2a x
b) ;f'(a)=2a^2 e a reta tangente é
y - a^3=2a^2(x-a),
ou equivalentemente y=2a^2x - a^3

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