Seja . A função f é derivável em x=0 ? É contínua em x=0 ? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x) = x^2, & se x<= 0, -,x^2, & se x>0,
e pergunta se f é contínua e derivável em x=0. Para isso, vamos usar limites para testar continuidade e a definição de derivada pela diferença incremental.
Passo 2
Para verificar a continuidade em x=0, lembramos que f é contínua em 0 se e somente se
limxto 0f(x)=f(0)
Primeiro, calculamos f(0): como 0<=0, temos f(0)=0^2=0.
Agora os limites laterais:
limxto0^-f(x) =limxto0^-x^2=0,
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(-x^2r)=0
Como ambos os limites laterais são iguais a 0 e coincidem com f(0), concluímos que f é contínua em x=0.
Passo 3
Para verificar a derivabilidade em x=0, usamos a definição
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h
Calculemos os limites laterais da diferença incremental: