Seja f(x)=lllx^2 & se & x <= 0 -x^2 & se & x>0. A função f é derivável em x=0 ? É contínua em x=0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = x^2, & se x<= 0, -,x^2, & se x>0,
e pergunta se f é contínua e derivável em x=0. Para isso, vamos usar limites para testar continuidade e a definição de derivada pela diferença incremental.

Passo 2

Para verificar a continuidade em x=0, lembramos que f é contínua em 0 se e somente se
limxto 0f(x)=f(0)
Primeiro, calculamos f(0): como 0<=0, temos f(0)=0^2=0.
Agora os limites laterais:
limxto0^-f(x) =limxto0^-x^2=0,
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(-x^2r)=0
Como ambos os limites laterais são iguais a 0 e coincidem com f(0), concluímos que f é contínua em x=0.

Passo 3

Para verificar a derivabilidade em x=0, usamos a definição
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h
Calculemos os limites laterais da diferença incremental:
  1. Para hto0^-, temos 0+h<=0, logo f(h)=h^2.
limhto0^-f(h)-f(0)h =limhto0^-h^2-0h =limhto0^-h =0
  1. Para hto0^+, temos 0+h>0, logo f(h)=-h^2.
limhto0^+f(h)-f(0)h =limhto0^+-h^2-0h =limhto0^+(-h) =0
Os dois limites laterais coincidem e valem 0, portanto f'(0) existe e é igual a 0.

Resposta

Sim, f é contínua em x=0 e também é derivável em x=0.

Exercícios relacionados