Encontre a solução geral da seguinte equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções com base nas raízes dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos fatorar a equação ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar:
Isso nos dá uma raiz dupla:
Passo 4
Como temos uma raiz dupla na equação característica (
com multiplicidade 2), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema (se forem fornecidas).
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.