Encontre a solução geral da seguinte equação:
y^prime prime+6 y^prime+9 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial y'' + 6y' + 9y = 0 . Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções com base nas raízes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação do tipo y'' + a y' + b y = 0 , a equação característica é r^2 + a r + b = 0 . No nosso caso, a = 6 e b = 9 , então a equação característica fica:
r^2 + 6r + 9 = 0

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Podemos fatorar a equação ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar:
r^2 + 6r + 9 = (r + 3)(r + 3) = 0
Isso nos dá uma raiz dupla:
r = -3

Passo 4

Como temos uma raiz dupla na equação característica ( r = -3 com multiplicidade 2), a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = (C1 + C2 x) e^-3x
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema (se forem fornecidas).

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' + 6y' + 9y = 0 é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^-3x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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