Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede a área da região no plano limitada pelas curvas
Esse é um problema de área entre curvas: a gente vai precisar achar onde as duas funções se cruzam, determinar qual fica em cima em cada trecho e, em seguida, integrar a diferença entre elas.
Passo 2
Para encontrar a abscissa de interseção interna, resolvemos
Se
, dividindo por
obtemos
O outro ponto de encontro é na fronteira
, onde ambas valem zero.
Passo 3
Agora vemos qual função está acima em cada intervalo:
– Em :
e , logo
está acima de em
.
– Em :
e
, então em
a função fica acima de
.
– Em
– Em
Passo 4
A área procurada é a soma de duas integrais:
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Logo
Passo 6
Agora a segunda integral:
Portanto
Passo 7
Somando as duas parcelas:
Resposta
A área da região é
.