Dada a função , responda cada um dos itens justificando sua resposta: admite derivadas parciais nos pontos sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem?
Passo 1
O enunciado define
Queremos verificar, para um ponto (x,y) sobre a circunferência x^2+y^2=1, se as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y existem, isto é, se os respectivos limites de diferença quociente existem.
Passo 2
Note que podemos escrever
Para a derivada de em relação a uma variável é . Mas em pontos onde (ou seja, na circunferência) o valor de não está definido e precisamos usar a definição pelo limite:
Passo 3
Cálculo de partial fpartial x num ponto da circunferência (g(x,y)=0):
Como h>0 não muda o sinal interno de lvertcdotrvert, obtemos limite lateral direito =2lvert xrvert.
Para h<0, obtemos também l|2x,hr|/h = -2lvert xrvert.
Esses dois limites coincidem só se lvert xrvert=0, i.e.\ x=0.
Logo
fx(x,y) existe Long<=ftrightarrow x=0 (no círculo x^2+y^2=1) í
O mesmo raciocínio de um-lado e outro-lado mostra que esses limites coincidem só se y=0.
Portanto
fy(x,y) existe Long<=ftrightarrow y=0 (na circunferência) ê
Passo 5
Na circunferência x^2+y^2=1 temos:
partial f/partial x existe apenas em (0,1) e (0,-1).
partial f/partial y existe apenas em (1,0) e (-1,0).
Não há ponto na circunferência onde existam as duas derivadas parciais ao mesmo tempo.
Resposta
fx existe somente em (0,1) e (0,-1) (pois aí x=0); fy existe somente em (1,0) e (-1,0) (pois aí y=0).
Em nenhum ponto da circunferência existem simultaneamente partial f/partial x e partial f/partial y.