Dada a função f(x, y)=raiz(x^2+y^2-1)^2, responda cada um dos itens justificando sua resposta:
f admite derivadas parciais nos pontos (x, y) sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=raizl(x^2+y^2-1r)^2 ;=; l|,x^2+y^2-1r|;
Queremos verificar, para um ponto (x,y) sobre a circunferência x^2+y^2=1, se as derivadas parciais
partial f/partial x e partial f/partial y existem, isto é, se os respectivos limites de diferença quociente existem.

Passo 2

Note que podemos escrever
Para a derivada de em relação a uma variável é . Mas em pontos onde (ou seja, na circunferência) o valor de não está definido e precisamos usar a definição pelo limite:

Passo 3

Cálculo de partial fpartial x num ponto da circunferência ( g(x,y)=0):
fx(x,y) =limhto0l|g(x+h,y)r|h,
mas
g(x+h,y)= (x+h)^2+y^2-1 = x^2+y^2-1 +2x,h +h^2 =2x,h +h^2
Para h>0,
;g(x+h,y)approx2x,h, então
lvert g(x+h,y)rverthapproxlvert2x,hrverth =;2lvert xrvert
Como h>0 não muda o sinal interno de lvertcdotrvert, obtemos limite lateral direito =2lvert xrvert.
Para h<0, obtemos também l|2x,hr|/h = -2lvert xrvert.
Esses dois limites coincidem só se lvert xrvert=0, i.e.\ x=0.
Logo
fx(x,y) existe Long<=ftrightarrow x=0 (no círculo x^2+y^2=1) í

Passo 4

Analogamente para partial f/partial y:
fy(x,y) =limkto0lvert g(x,y+k)rvertk, g(x,y+k)=2y,k+k^2
O mesmo raciocínio de um-lado e outro-lado mostra que esses limites coincidem só se y=0.
Portanto
fy(x,y) existe Long<=ftrightarrow y=0 (na circunferência) ê

Passo 5

Na circunferência x^2+y^2=1 temos:
  • partial f/partial x existe apenas em (0,1) e (0,-1).
  • partial f/partial y existe apenas em (1,0) e (-1,0).
    Não há ponto na circunferência onde existam as duas derivadas parciais ao mesmo tempo.

Resposta

fx existe somente em (0,1) e (0,-1) (pois aí x=0);
fy existe somente em (1,0) e (-1,0) (pois aí y=0).
Em nenhum ponto da circunferência existem simultaneamente partial f/partial x e partial f/partial y.

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